Числова редица и аритметична прогресия.

[Olivia]

Дадена е редицата 3,4,7,12,19,28 за която разликите между съседните членове образуват аритметична прогресия в същия ред. Да се намери общият член на редицата.

И нищо не разбирам. Аритметичната прогресия е с членове 1,3,5,7,9 с d=2. И не мога да разбера как да намеря този общ член.

[martin123456]

значи редицата от разликите е 1,3,5,7,9,... и значи акo означим общият и член с [tex]a_n[/tex], то [tex]a_n=1+2(n-1)=2n-1[/tex], [tex]n \geq 1[/tex].
сега гледайки оригиналната редица. нека тя има общ член [tex]o_n[/tex], [tex]n \geq 1[/tex]
забелязваме
[tex]o_1=3[/tex]
[tex]o_2=3+a_1[/tex]
[tex]o_3=3+a_1+a_2[/tex]
[tex]o_4=3+a_1+a_2+a_3[/tex]
..........................
[tex]o_n=3+a_1+a_2+\cdots + a_{n-1}=3+2(1+2+\cdots +n-1)-n+1=3+n^2-2n+4=n^2-2n+4[/tex]

[Olivia]

значи редицата от разликите е 1,3,5,7,9,... и значи акo означим общият и член с [tex]a_n[/tex], то [tex]a_n=1+2(n-1)=2n-1[/tex], [tex]n \geq 1[/tex].
сега гледайки оригиналната редица. нека тя има общ член [tex]o_n[/tex], [tex]n \geq 1[/tex]
забелязваме
[tex]o_1=3[/tex]
[tex]o_2=3+a_1[/tex]
[tex]o_3=3+a_1+a_2[/tex]
[tex]o_4=3+a_1+a_2+a_3[/tex]
..........................
[tex]o_n=3+a_1+a_2+\cdots + a_{n-1}=3+2(1+2+\cdots +n-1)-n+1=3+n^2-2n+4=n^2-2n+4[/tex]

Не мога да разбера последния ред. Значи [tex]a_{1 } , a_{2 }[/tex]и т.н. са членове на аритметична прогресия, нали?
А [tex]3+2(1+2+\cdots +n-1)-n+1[/tex] не разбирам откъде идва. От формулата горе за общия член, ли? И накрая защо 3-ката изчезва?

[mkmarinov]

[tex]a_1=3[/tex]
[tex]a_2=4[/tex]
...
[tex]a_{n+1}-a_n=2n-3[/tex]
Образуваме:
[tex]a_2=a_1+1[/tex]
[tex]a_3=a_2+3[/tex]
...
[tex]a_{n-1}=a_{n-2}+2(n-1)-3[/tex]
[tex]a_n=a_{n-1}+2n-3[/tex]
След почленно събиране се получава:
[tex]a_2+a_3+...+a_{n-1}+a_n=(a_1+1)+(a_2+3)+...+(a_{n-2}+2(n-1)-3)+(a_{n-1}+2n-3)[/tex]
Всичките членове на редицата освен първия и н-тия се унищожават:
[tex]a_n=a_1+1+3+...+2(n-1)-3+2n-3[/tex]
Т.е. [tex]a_n=a_1+\sum_{i=2}^n(2i-3)=a_1+ \sum_{i=1}^n(2n-3)-(2.1-3)=a_1+1+S_n[/tex], където S_n е сумата на редицата [tex]a_n=2n-3[/tex] (аритметична прогресия) от първия до ентия член.