Сложна Аритмична прогресия

[undead_apdox]

Нека x_{1 } < x_{2 } са корени на квадратното уравнение x^{2} - p*x + q = 0. Да се намерят стойностите на p и q при условие, че числата x_{1 }, x_{2 }, p+3, q+3 в този ред образуват аритмична прогресия.

Какво е решението и как се стига до него?


П.С Благодаря предварително

[ptj]

От формулите на Виет:
[tex]p=x_1+x_2[/tex]
[tex]q=x_1.x_2[/tex]

Т.е. прогресията е:
[tex]x_1,x_2,x_1+x_2+3, x_1.x_2+3[/tex]

[tex]d=x_2-x_1=x_1+3\Rightarrow x_2=2x_1+3[/tex]

[tex]x_1+3d=x_1x_2+3\Leftrightarrow 4x_1+9=x_1(2x_1+3)+3[/tex]

[tex]x_1=-\frac{3}{2}[/tex] или [tex]x_1=2[/tex]

Нататък е лесно...

[Hephaestus]

Прилагателното име "аритмична" е характерно по-скоро за областта на кардиологията. Разбира се, тук, във форума по математика, ще разберем, че става въпрос за "аритметична" прогресия. Вярно е, че двете думи се явяват пароними и е възможно този малапропизъм да е резултат от автокорекцията, внедрена в съвременните смартфони, но мисълта ми е, че е хубаво да се обръща внимание на правилната употреба на понятията.

Задачата е доста интересна в това, че съчетава различни теми от математиката в едно. Решението на колегата ptj е брилянтно, може би дори е най-добрият възможен подход. С цел широчина от гледна точка на възможните решения, още един възможен подход към задачата би бил, редом с формулите на Виет, да се използват свойствата на аритметичната прогресия, а именно:
➤ Сборът от първия и последния член на крайна аритметична прогресия е равен на сбора на всяка двойка равноотдалечени от началото и края ѝ членове.
Т.е. ако аритметичната прогресия е [tex]a_{1 }, a_{2 }, a_{3 }, ..., a_{n }[/tex], то [tex]a_{1 } + a_{n } = a_{2 } + a_{n-1 } = a_{3 } + a_{n-2 } = ...[/tex]
➤ Всеки член на една аритметична прогресия след първия е средноаритметичен на съседните си членове, т.е. [tex]a_{k } = \frac{a_{k-1}+a_{k+1}}{2}, k\ge2[/tex]
Тогава можем да съставим една система с помощта на формулите на Виет и свойствата на аритметичната прогресия:

[tex]\begin{array}{|l} x_{1 } + x_{2 } = p \\ x_{1 } . x_{2 } = q \\ x_{1 } + q + 3 = x_{2 } + p + 3 \Leftrightarrow x_{1 } + x_{1 } . x_{2 } + 3 = x_{2 } + x_{1 } + x_{2 } + 3 \Leftrightarrow x_{1 } . x_{2 } = 2x_{2 } (*) \\ x_{2 } = \frac{x_{1 } + p + 3}{2} \Leftrightarrow 2x_{2 } = 2x_{1 } + x_{2 } + 3 (**) \end{array}[/tex]

За [tex](*)[/tex] разглеждаме случая, когато [tex]x_{2 } = 0[/tex] и заместваме в [tex](**)[/tex]. Тогава получаваме, че числата, образуващи прогресията, са: [tex]-\frac{3}{2}; 0; \frac{3}{2}; 3[/tex], т.е. [tex]p = -\frac{3}{2}, q = 0[/tex]. След като сме разгледали случая, когато [tex]x_{2 } = 0[/tex], можем спокойно да разделим [tex](*)[/tex] на [tex]x_{2 } \Rightarrow x_{1 } = 2[/tex] и тогава за прогресията получаваме [tex]2; 7; 12; 17[/tex], т.е. [tex]p = 9, q = 14[/tex].