Две прогресии...

[S.B.]

Числата $a_{1 },a_{2 },a_{3 }....$ образуват аритметична прогресия, а числата $b_{1 },b_{2 },b_{3 }...$ образуват геометрична прогресия.Частното на геометричната прогресия е равно на първия член $a_{1 }$ на аритметичната прогресия,а разликата на аритметичната прогресия е равна на първия член $b_{1 }$ на геометричната прогресия.
Дадено е ,че $a_{1 } + a_{2 } + a_{3 } + a_{4 } = 32$ и $b_{1 } + b_{2 } = 12$
Да се намерят числата $a_{3 }$ и $b_{3 }$.
В случая,когато $b_{1 } > a_{1 }$ ,да се намери най-малкото естествено число $n$ ,за което $b_{n } > 1996$

[KOPMOPAH]

По условие: $$a_n=a_1+(n-1)b_1,~b_n=b_1.a_1^{n-1}$$
Също така по условие:$$a_1+a_2+a_3+a_4=2,~b_{1 } + b_{2 } = 12$$
Съставяме системата: $$\begin{array}{|l} a_1+a_1+b_{1 }+a_1+2b_{1 }+a_1+ 3b_{1 }= 32 \\ b_{1 }+b_{1 }a_1 = 12 \end{array}$$Решенията на системата са $a_1=2,~b_1=4$ и $a_1=5,~b_1=2$.
От първата двойка числа получаваме $a_3=a_1+(3-1)b_1=...=10$ и $b_3=b_1.a_1^{3-1}=...=16$, а от втората - съответно $a_3=...=9$ и $b_3=...=50$.

Сигурно задачата е давана през $1996$ година, затова се търси $$b_n=4.2^{n-1}>1996$$Като разделим двете страни на неравенството на $4$ получаваме,че:$$2^{n-1}>499$$Най-малката степен на $2$, която е по-голяма от $499$, е $512=2^9$, следователно $n=10$, $b_{10}=4.2^{9}=2048>1996$.
Вижда се, че задачата без проблем може да се даде и догодина, и по-догодина и така до $2048$ година

[S.B.]

Сигурно задачата е давана през $1996$ година, затова се търси $$b_n=4.2^{n-1}>1996$$....
Вижда се, че задачата без проблем може да се даде и догодина, и по-догодина и така до $2048$ година

Конкурсен изпит СУ "Св.Климент Охридски" 25 юли 1996 г. 1-ва задача.