Задача от приложение на прогресии

[Меди]

За един оборот въздушна помпа изпомпва $\dfrac{1}{10}$ част от въздуха на затворен съд. Намерете в проценти каква част от въздуха в съда ще изтегли помпата за $10$ оборота (с точност до $0,01$).

Ще съм много благодарен, ако можете да ме насочите. Благодаря предварително!

[peyo]

За един оборот въздушна помпа изпомпва $\dfrac{1}{10}$ част от въздуха на затворен съд. Намерете в проценти каква част от въздуха в съда ще изтегли помпата за $10$ оборота (с точност до $0,01$).

Ще съм много благодарен, ако можете да ме насочите. Благодаря предварително!

За 1-вия оборот $a_1 = 0.1*100 \% = 10 \%$, остават $М_1 = 100-a_1 = 90\%$
За 2-рия оборот $a_2 = a_1 + 0.1*М_1 = a_1 + 0.1*(100-a_1) = 19 %$, остават $М_2 = 100 - a_2 = 81\%$
За 3-тия оборот $a_3 = a_2 + 0.1*(100-a_2) = 27.1 %$, ...

За n-тия $a_n = a_{n-1} + 0.1*(100-a_{n-1}) $ или:

$a_n = 0.9a_{n-1} +10 $

С първоначални условия: $a_{0} = 0$, $a_{1} = 10$, $a_{2} = 19$, $a_{3} = 27.1$

И сега как да решим това, което ако не се лъжа се нарича "Linear Constant Coefficient Difference Equation". Може би друг път.

Да пробваме с математическо отгатване.

Това е функция която от 0 в началото по-бързо, а после по-бавно стига евентуално в безкрайност до 100. Значи ще е нещо такова:

$a{n} = 100( 1- r^{-nt})$

И остава да намерим двете неизвестни константи t и r. Правим система с началните условия:

$10 = 100( 1- r^{-t})$
$19 = 100( 1- r^{-2t})$

$r^{-t} = 0.9$
$r^{-2t} = 0.81$

И тук веднага виждаме, че второто уравнение се получава като първото се вдигне на квадрат. Значи няма две уравнение, има само едно и така не търсим два параметъра , а само един. Или вече имаме отговор:

$a_{n} = 100( 1- 0.9^n)$

Да видим за n=10:

$a_{10} = 100( 1- 0.9^{10}) = 65.13215599$

[Гост]

Не се ли изтегля целия въздух за 10 оборота ? Не разбрах решението на пейо .

[Меди]

С огромната помощ на @КОРМОРАН стигнах до следното решение.

Количеството въздух в съда в действителност е една намаляваща геометрична прогресия с първи член $a_1=1$, защото всеки път остава $90\%$ от предишното количество (частно $90\%=0,9$), а изпомпаното количество е съответно разликата между първоначалните $100\%$ и останалото до момента в съда. Търсим 11-тия член на тази прогресия $a_{11}=a_1q^{10}\approx 0,3487=34,87\%.$ За да получим изпомпаното до момента количество вадим тези проценти от $100\%$ и получаваме съответно $65,13\%.$