Аритметична прогресия

[Гост]

Здравейте! Затруднявам се със следния пример: дадена е
[tex]÷[/tex], като е образувана системата[tex]\begin{array}{|l} а_{1 }^{2}+ а_{3}^{2} + а_{5}^{2} = 35\\ а_{2}^{2} + а_{4}^{2} + а_{6}^{2} = 69\end{array}[/tex]. След преобразувания получих система във вида:
[tex]\begin{array}{|l} 3а_{1}^{2} + 12а_{1 }d + 20d^{2} = 35\\ 3а_{1}^{2} +18а_{1 }d + 35d^{2} = 69 \end{array}[/tex]. Извадих почленно двете уравнения и получих уравнение с две неизвестни от вида:[tex]-6а_{1 }d -15d^{2} + 34 = 0[/tex]. И дотам... Ще се радвам ако някой успее да довърши задачата!

[Davids]

Ами почти си готов/а. Само остава да забележиш, че си получил/а квадратно уравнение за $d$, където $a_1$ можеш да третираш като параметър. Решаваш го, заместваш после в произволно уравнение $d$, изразено чрез $a_1$, и си правиш каквото ти се иска от условието с прогресията после.

[Гост]

Може ли да ми разпишеш решението защото там имам грешка в пресмятанията? Благодаря предварително!

[Davids]

Може ли да ми разпишеш решението защото там имам грешка в пресмятанията? Благодаря предварително!

Нямаш грешка в пресмятанията, просто не съществува аритметична прогресия от реални числа, която да удовлетворява така зададената система уравнения.
Напоследък все по-често се срещат некоректни условия, така че малко по-уверено - не всяка задача е безусловно вярно зададена!
Пък и основни качества на математика са критичното мислене и наблюдателността. Да, дразнещо е да изгубиш часове да се мъчиш да решаваш нещо нерешимо, но пък в крайна сметка можеш да докажеш, че няма решения... например. Да извлечеш някаква полза, имам предвид.
Както и да е, де. Надявам се, това ще те накара да се чувстваш по-добре.

За да не се съмняваш друг път за подобни задачи (пък и по принцип е добре да си запознат/а), те съветвам да се поинтересуваш от услугите на Wolfram Alpha, който за секундичка ни хвърля малко светлина върху предполагаемата идея на автора.
Та, ако параметризираме малко даденото:

[tex]\begin{array}{|l} a_1^2 + a_3^2 + a_5^2 = a \\ a_2^2 + a_4^2 + a_6^2 = b \end{array}[/tex]

то тази система има "човешко" решение единствено когато $b = \frac{7}{4}a$. Така, като погледнем пак какво имахме дадено оригинално (а именно, $a = 35, b = 69$), и понеже вероятно не искаме дробни параметри (за да е добре изглеждаща и приятна системата), то ще искаме $4|a$. Ами най-близкото до 35 кратно на 4 е 36, т.е. можем да предположим, че се е имало предвид $a = 36$ и респективно $b = 63$. Което на мен ми се струва достатъчно "подобно" на оригинала.
Та, в такъв случай решенията излизат сравнително приятно по нормалния начин на решаване, а именно:
$a_1 = \pm\frac{4}{7}\sqrt{21}, d = -\frac{3}{4}a_1$ и $a_1 = 0, d = \pm\frac{3}{\sqrt{5}}$

Та, с малко интуиция и интерес, можеш даже да повдигнеш дискусията пред преподавателя си и да обсъдите. Най-много да се изкефи, няма да ти се разсърди.

P.S.

Ами почти си готов/а. Само остава да забележиш, че си получил/а квадратно уравнение за $d$, където $a_1$ можеш да третираш като параметър. Решаваш го, заместваш после в произволно уравнение $d$, изразено чрез $a_1$, и си правиш каквото ти се иска от условието с прогресията после.

Това не е най-приятният вариант... всъщност, по-хитро е да изразиш $a_1$ чрез $d$, да се върнеш да заместиш в някое от оригиналните уравнения и да видиш какво хубаво ще стане.

[S.B.]

Здравейте! Затруднявам се със следния пример: дадена е
[tex]÷[/tex], като е образувана системата[tex]\begin{array}{|l} а_{1 }^{2}+ а_{3}^{2} + а_{5}^{2} = 35\\ а_{2}^{2} + а_{4}^{2} + а_{6}^{2} = 69\end{array}[/tex]. След преобразувания получих система във вида:
[tex]\begin{array}{|l} 3а_{1}^{2} + 12а_{1 }d + 20d^{2} = 35\\ 3а_{1}^{2} +18а_{1 }d + 35d^{2} = 69 \end{array}[/tex]. Извадих почленно двете уравнения и получих уравнение с две неизвестни от вида:[tex]-6а_{1 }d -15d^{2} + 34 = 0[/tex]. И дотам... Ще се радвам ако някой успее да довърши задачата!

По принцип такъв тип системи се решават по следният начин:
$d\ne0$ и изнасяш пред скоба $d^{2}$ и в първото и във второто уравнение:

[tex]\begin{array}{|l} 3a_{1 }^{2} + 12a_{1 }d + 20d^{2} = 35 \\ 3a_{1 }^{2} + 18a_{1 }d + 35d^{2} = 69 \end{array} \Leftrightarrow\begin{array}{|l} d^{2}(3(\displaystyle\frac{a_{1 }}{d})^{2} + 12\displaystyle\frac{a_{1 }}{d} + 20) = 35 \\ d^{2}(3(\displaystyle\frac{a_{1 }}{d})^{2} + 18\displaystyle\frac{a_{1 }}{d} + 35) = 69 \end{array}[/tex]
Полагаш :$\frac{a_{1 }}{d} = k$ и делиш почленно:
$\frac{d^{2}(3k^{2} + 12k + 20)}{d^{2}(3k^{2} + 18k + 35)} = \frac{35}{69} \Leftrightarrow 69(3k^{2} + 12k + 20) =35(3k^{2} + 18k + 35)$
От тук получаваш квадратно уравнение по отношение на $k$ и отговори $k_{1,2 } =....$
Получаваш две стойности за $k=\frac{a_{1 }}{d}$
Всяка от тях комбинираш с едно (по избор) от уравненията на системата и получаваш две системи по отношение на $a_{1 }$ и $d$
Аз бързам и много съжалявам,че не мога до край да реша задачата ,но ако не е толкова спешно и не успеете - тази вечер ще я довърша.Проверете всички сметки много добре още веднъж!Хубав ден!

[S.B.]

По принцип такъв тип системи се решават по следният начин:
$d\ne0$ и изнасяш пред скоба $d^{2}$ и в първото и във второто уравнение:

[tex]\begin{array}{|l} 3a_{1 }^{2} + 12a_{1 }d + 20d^{2} = 35 \\ 3a_{1 }^{2} + 18a_{1 }d + 35d^{2} = 69 \end{array} \Leftrightarrow\begin{array}{|l} d^{2}(3(\displaystyle\frac{a_{1 }}{d})^{2} + 12\displaystyle\frac{a_{1 }}{d} + 20) = 35 \\ d^{2}(3(\displaystyle\frac{a_{1 }}{d})^{2} + 18\displaystyle\frac{a_{1 }}{d} + 35) = 69 \end{array}[/tex]
Полагаш :$\frac{a_{1 }}{d} = k$ и делиш почленно:
$\frac{d^{2}(3k^{2} + 12k + 20)}{d^{2}(3k^{2} + 18k + 35)} = \frac{35}{69} \Leftrightarrow 69(3k^{2} + 12k + 20) =35(3k^{2} + 18k + 35)$
От тук получаваш квадратно уравнение по отношение на $k$ и отговори $k_{1,2 } =....$
Получаваш две стойности за $k=\frac{a_{1 }}{d}$
Всяка от тях комбинираш с едно (по избор) от уравненията на системата и получаваш две системи по отношение на $a_{1 }$ и $d$
Аз бързам и много съжалявам,че не мога до край да реша задачата ,но ако не е толкова спешно и не успеете - тази вечер ще я довърша.Проверете всички сметки много добре още веднъж!Хубав ден!

Съжалявам, но и аз ,както колегата Davids,констатирах,че или условието на задачата е некоректно зададено или задачата няма решение т. е. такава аритметична прогресия не съществува ,тъй като дискриминантата на квадратното уравнение се получава отрицателно число.