Аритметична прогресия

[skadevil]

Корените на уравнението [tex]x^{3}[/tex]+а[tex]x^{2}[/tex]+bx=0(а,b са реални параметри)не са отрицателни и образуват растяща аритметична прогресия.Да се намерят,ако числото b е равно на четвъртия член на онази числова редица,за която S[tex]n_{}[/tex]=[tex]2^{n}[/tex]-1(Snе сумата от първите n члена на тази редица).Да се намери и числото а.
намирам
[tex]a_{1 }[/tex]=1
[tex]a_{2 }[/tex]=2
[tex]a_{3 }[/tex]=4
[tex]a_{4 }[/tex]=8=b

единият корен ще е x=0 след като изнесем x пред скоби но за другите как точно ще стане

[Гост]

Можеш да намериш b като направиш Sn-S(n-1)=a_n, След това в намерения израз за a_n заместваш n с 4 и така намираш a4 т.е. b. След това имаш уравнение с 1 неизвестно, 1 параметър и един известен корен. Ползваш, че за аритметична прогресия е в сила 2а_n=a_(n+1)+a_(n-1). Играеш си на случаи и ще я решиш.

[S.B.]

Корените на уравнението [tex]x^{3}[/tex]+а[tex]x^{2}[/tex]+bx=0(а,b са реални параметри)не са отрицателни и образуват растяща аритметична прогресия.Да се намерят,ако числото b е равно на четвъртия член на онази числова редица,за която S[tex]n_{}[/tex]=[tex]2^{n}[/tex]-1(Snе сумата от първите n члена на тази редица).Да се намери и числото а.
намирам
[tex]a_{1 }[/tex]=1
[tex]a_{2 }[/tex]=2
[tex]a_{3 }[/tex]=4
[tex]a_{4 }[/tex]=8=b

единият корен ще е x=0 след като изнесем x пред скоби но за другите как точно ще стане

Уравнението:
$$x^{3} + ax^{2} + bx = 0$$
има $3$ неотрицателни корена,които образуват растяща аритметична прогресия:
$x_{1 } = 0$

[tex]\div x_{1 },x_{2 },x_{3 } \Leftrightarrow\div 0,d,2d[/tex],където $d>0$

За другата редица $b_{1 },b_{2 },b_{3 },b_{4 }$ получаваш:
$S_{1 } = 2^{1} - 1 \Rightarrow b_{1 } = 1$
$S_{2 } = 2^{2} - 1 \Rightarrow 3 = S_{1 } + b_{2 } \Leftrightarrow 3 = 1 + b_{2 } \Rightarrow b_{2 } = 2$
$S_{3 } = 2^{3} - 1 \Rightarrow 7 = S_{2 } + b_{3 } \Leftrightarrow 7 = 3 + b_{3 }\Rightarrow b_{3 } = 4$
$S_{4 } = 2^{4} - 1 \Rightarrow 15 = S_{3 } + b_{4 }\Leftrightarrow15= 7 + b_{4 } \Rightarrow b_{4 } = 8$
$$b = b_{4 } \Rightarrow b = 8$$
$x^{3} + ax^{2} + bx = 0\Leftrightarrow x^{3} + ax^{2} + 8x = 0 \Leftrightarrow x(x^{2} + ax + 8) = 0$
$x_{1 } = 0 , x_{2 } = d , x_{3 } = 2d$
За уравнението $x^{2} + ax + 8 = 0$ според Виет имаме :
$x_{2 } + x_{3 } = -a \cup x_{2 }x_{3 } = 8$
Понеже $x_{2 } = d , x_{3} = 2d \Rightarrow$
$3d = -a , 2d^{2} = 8 \Leftrightarrow d^{2} = 4 \Rightarrow d_{1,2 } = \pm 2$
Но $d>0 \Rightarrow d = 2 $
От $3d = - a \Rightarrow a = -6$