Комбинирана задача от аритметична и геометрична прогресия

[Гост]

Сумата от три числа, които образуват растяща геометрична прогресия, е 65. Ако от най-малкото извадим 1, а от най-голямото извадим 19, то новополучените чесла образяват аритметична прогресия. Първоначалните числа са...

[S.B.]

Сумата от три числа, които образуват растяща геометрична прогресия, е 65. Ако от най-малкото извадим 1, а от най-голямото извадим 19, то новополучените чесла образяват аритметична прогресия. Първоначалните числа са...

[tex]\frac{..}{..} a,aq,aq^{2}[/tex]

$a + aq + aq^{2} = 65$

$\div (a-1) , aq , (aq^{2} - 19) \Rightarrow 2aq = (a-1) + (aq^{2} - 19)$

$\begin{array}{|l} a + aq + aq^{2} = 65\\ 2aq = a - 1 + aq^{2} - 19\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a(1 + q + q^{2})= 65 \\ a(1 - 2q + q^{2} )= 20 \end{array}$

Делиш почленно:

$\frac{a(1 + q + q^{2}) }{a(1 - 2q + q^{2})} = \frac{65}{20} \Leftrightarrow \frac{1 + q + q^{2}}{1 - 2q + q^{2}} = \frac{13}{4}$

След преработка получаваш:

$3q^{2} - 10q + 3 = 0 , D = 64 , q_{1,2 } = \frac{10 \pm 8}{6 } \Rightarrow q_{1 } = 3, q_{2 } = \frac{1}{3}$

Прогресията е растяща $\Rightarrow q>1 \Rightarrow q = 3$

$a(1 + q + q^{2}) = 65 \Leftrightarrow a.13 = 65 \Rightarrow a = 5$

Числата са :$ 5 , 15, 45$