Комбинирана задача от геометрична и аритметична прогресии

[Гост]

Три числа, чиято сума е 26, са последователни членове на геометрична прогресия. Ако третото число намалим с 8, а другите не променяме, ще получим последователни членове на аритметична прогресия. Намерете първоначалните числа.

[mp3]

[tex]\begin{array}{|l} a + b + c = 26 \\ ac = b^{2} \\ a+ c-8 = 2b \end{array}[/tex]

Система с 3 уравнения и 3 неизвестни.

[S.B.]

Три числа, чиято сума е 26, са последователни членове на геометрична прогресия. Ако третото число намалим с 8, а другите не променяме, ще получим последователни членове на аритметична прогресия. Намерете първоначалните числа.

И още един поглед върху задачата

[tex]\frac{..}{..} a , aq , aq^{2}[/tex] от условието $\rightarrow a + aq + aq^{2} = 26$
$ \div a, aq , aq^{2} - 8$ от свойството на аритм.прогресия $\rightarrow a + aq^{2} - 8 = 2aq$
Образувам система от 2 уравнения с 2 неизвестни:
$\begin{array}{|l} a + aq + aq^{2} = 26 \\ a + aq^{2} - 8 = 2aq \end{array} \Leftrightarrow\begin{array}{|l} a(1 + q + q^{2}) = 26 \\ a( 1 - 2q + q^{2}) = 8\end{array} $
Деля почленно:
$\frac{a(1 + q + q^{2})}{a(1 - 2q + q^{2})} = \frac{26}{8} \Leftrightarrow \frac{1 + q + q^{2}}{1 - 2q + q^{2}} = \frac{13}{4} \Leftrightarrow ...$
$3q^{2} - 10q + 3 = 0 , D = 64 , q_{1,2 } = \frac{10 \pm 8}{6} \Rightarrow q_{1 } = 3, q_{2 } = \frac{1}{3}$
Следователно съществуват 2 тройки числа :
За $q = 3 $ получавам $a(1 + 3 + 9) = 26 \Rightarrow a = 2$, $$ 2 , 6 , 18$$
За $q = \frac{1}{3}$ получавам $a(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}) = 26 \Rightarrow a = 18$ $$ 18,6,2$$

[Гост]

много ви благодаря!!!

[Гост]

Може ли помощ със следните три задачи!
1 задача: Три числа образуват геометрична прогресия.
Те са съответно първи, четвърти и двадесет и пети
член на растяща аритметична прогресия. Намерете трите числа, ако сборът им е 114.
2 задача: Три числа образуват намаляваща аритметична прогресия. Ако към първото число прибавим 1, а към третото число прибавим 2,
то ще получим три числа, които образуват геометрична прогресия. Намерете трите числа,ако сборът им е 18.
3 задача: три числа са последователни членове едновременно на аритметична геометрична прогресия . Намерете числата ако сборът им е 9.

[S.B.]

Може ли помощ със следните три задачи!
2 задача: Три числа образуват намаляваща аритметична прогресия. Ако към първото число прибавим 1, а към третото число прибавим 2,
то ще получим три числа, които образуват геометрична прогресия. Намерете трите числа,ако сборът им е 18.

$\div$ [tex]a,a + d ,a + 2d[/tex]
[tex]\frac{..}{..}[/tex] $a+ 1 , a + d , a + 2d + 2$

Образувам система в която първото уравнение се получава от условието за сбора на трите числа, а второто - от свойството на геометричната прогресия, че всеки среден член е средно геометричен на съседните му членове.

[tex]\begin{array}{|l} a + a + d + a + 2d = 18 \\ (a + d)^{2 } = (a + 1)(a + 2d + 2) \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a + d = 6 \\ (a + d)^{2 } = (a + 1)(a + d + 2 + d) \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a = 6 - d \\ 6^{2 } = (a + 1)(8 + d) \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]36 = (7 - d)(8 + d) \Leftrightarrow 36 = 56 +7d - 8d - d^{2 } \Leftrightarrow d^{2 } + d- 20 = 0 ,D = 81, d_{1 }= -5 , d_{2 } = 4[/tex]

Аритметичната прогресия е намаляваща , т.е. $d <0$

[tex]\Rightarrow d = -5 , a = 11[/tex]

Числата са :$$11 , 6 , 1$$