Геометрична прогресия

[ceneto18]

Сборът на втория, третия и четвъртия член на растяща геометрична прогресия е 7. Разликата на четвъртия и втория член е 3. Петият член на прогресията е ?

Помогнете, мислих я със система, ама нещо не ми се получава

[Martin Nikovski]

Вероятно не ти се е получило със система, защото си избрал/а да означиш първия член на прогресията [tex]a_1[/tex] с [tex]x[/tex]. Виждаме обаче, че той не ни е необходим. Защо не си улесним задачата и не започнем от втория член? [tex]a_2=x[/tex]. Тогава: [tex]a_3=x.q[/tex], а [tex]a_4=x.q^2[/tex].
От условието съставяме система:
[tex]\begin{tabular}{|l}a_2+a_3+a_4=7\\a_4-a_2=3 \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}x+x.q+x.q^2=7\\x.q^2-x=3 \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}x(1+q+q^2)=7\\x(q^2-1)=3 \end{tabular}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\begin{tabular}{|l}x(1+q+q^2)=7\\x=\frac{3}{q^2-1 } \end{tabular}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{3}{q^2-1} .(1+q+q^2)=7[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]3+3q+3q^2=7q^2-7[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]4q^2-3q-10=0[/tex]
[tex]D=3^2+4.4.10=9+160=169[/tex]
[tex]q=\frac{3+\sqrt{169}}{2.4 } =\frac{3+13}{8 } =2[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]q=\frac{3-\sqrt{169}}{2.4 } =\frac{3-13}{8 } =-\frac{5}{4 }[/tex], което не е решение, тъй като според условието прогресията е растяща ([tex]q>1[/tex]). Остава само решението: [tex]q=2[/tex].
[tex]x=\frac{3}{q^2-1 } =\frac{3}{ 2^2-1}=\frac{\cancel3}{\cancel3 } =1[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a_2=1[/tex].
Петият член на прогресията е [tex]a_5=a_2.q^3=x.q^3=1.2^3=1.8=8[/tex]

[ceneto18]

Еее мерси за изчерпателният отговор.