Геометрична

[Гост]

За геометрична прогресия с положителни членове е известно, че a5=x, a7=x+2, a9=2x+7. Първият член на геометричната прогресия е?

[S.B.]

За геометрична прогресия с положителни членове е известно, че a5=x, a7=x+2, a9=2x+7. Първият член на геометричната прогресия е?

[tex]\begin{array}{|l} a_{5 } = x \\ a_{7 } = x + 2\\ a_{9 } = 2x + 7 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1 } q^{4} = x \\ a_{1 } q^{6} = x + 2\\ a_{1 } q^{8} = 2x + 7 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1 } q^{6} = a_{1 } q^{4} + 2 \\ a_{1 } q^{8}= 2 a_{1 } q^{4} + 7 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1 } q^{4}( q^{2} - 1) = 2 \\ a_{1 } q^{4}( q^{4} - 2) = 7 \end{array}[/tex]

Делиш почленно:

[tex]\frac{ a_{1 } q^{4}( q^{2} - 1) }{ a_{1 } q^{4}( q^{4} - 2 )} = \frac{2}{7} \Leftrightarrow \frac{ q^{2} - 1 }{ q^{4} - 2 } = \frac{2}{7} \Leftrightarrow
2 q^{4} - 7 q^{2} + 3 = 0[/tex]
Нека [tex]q^{2} = t > 0[/tex]
[tex]2 t^{2} - 7t + 3 = 0 , D = 25 , t_{1,2 } = \frac{7 \pm 5 }{4} \Rightarrow t_{1 } = 3>0 , t_{2 } = \frac{1}{2}>0[/tex]
[tex]q_{1,2 } = \pm \sqrt{3}[/tex]
[tex]a_{1 } q^{4}( q^{2} - 1)= 2 \Leftrightarrow a_{1 }.9(3 - 1) = 2 \Leftrightarrow 18 a_{1 } = 2 \Rightarrow a_{1 } = \frac{1}{9}[/tex]
[tex]q_{3,4 } = \pm \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex]
[tex]a_{1 } q^{4}( q^{2} - 1) = 2 \Leftrightarrow a_{1 }. \frac{1}{4}( \frac{1}{2} - 1) = 2 \Leftrightarrow - \frac{1}{8} a_{1 } = 2 \Rightarrow a_{1 }= -16[/tex]

[mail_dinko]

[tex]q^2 = \frac {a_7}{q_5}= \frac {a_9}{q_7} \Leftrightarrow \frac {x+2}{x } = {2x+7}{x+2} \Leftrightarrow x^2 + 4x + 4 = 2x^2 +7x[/tex]
[tex]x^2 +3 x -4 =0[/tex]
[tex]D = 9+ 16 = 5 ^2 \Rightarrow x_ {1,2} = \frac {-3 \pm 5}{2}[/tex]
[tex]x_1 = 1[/tex]
[tex]x_2 = -4[/tex]
I случай:
[tex]a_1 q ^4 = 1 \Rightarrow a_ 1 = \frac {1}{q^4}[/tex]
[tex]a_ 1 q ^6 = 3[/tex]
[tex]q ^2 = 3 \Rightarrow q_{1,2} = \pm \sqrt {3}[/tex]
При [tex]q = \sqrt {3} \Rightarrow a_1 = \frac 19[/tex]
При [tex]q = - \sqrt {3} \Rightarrow a_1 = \frac 19[/tex]
II случай:
[tex]a_1 q ^4 = -4 \Rightarrow a_ 1 = \frac {-4}{q^4}[/tex]
[tex]a_ 1 q ^6 = -2[/tex]
[tex]q ^2 = \frac {1}{2} \Rightarrow q_{3,4} = \pm \frac { 1 }{ \sqrt {2} } = \pm \frac {\sqrt {2}}{2}[/tex]
При [tex]q = \frac { 1 }{ \sqrt {2} } \Rightarrow a_1 = 16[/tex]
При [tex]q = - \frac { 1 }{ \sqrt {2} } \Rightarrow a_1 = 16[/tex]

[Гост]

II случай:
[tex]a_1 q ^4 = -4 \Rightarrow a_ 1 = \frac {-4}{q^4}[/tex]
[tex]a_ 1 q ^6 = -2[/tex]
[tex]q ^2 = \frac {1}{2} \Rightarrow q_{3,4} = \pm \frac { 1 }{ \sqrt {2} } = \pm \frac {\sqrt {2}}{2}[/tex]
При [tex]q = \frac { 1 }{ \sqrt {2} } \Rightarrow a_1 = 16[/tex]
При [tex]q = - \frac { 1 }{ \sqrt {2} } \Rightarrow a_1 = 16[/tex]

[tex]a_{1 } = \displaystyle\frac{-4}{ q^{4} } , q^{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow a_{1 } = \displaystyle \frac{-4}{\displaystyle ( \frac{1}{2}) ^{2} } = - 16[/tex]

[mail_dinko]

Благодаря за корекцията.