Ъглите на триъгълник образуват АП

[Гост]

Ъглите на триъгълник образуват АП. Намерете средната по големина страна, ако радиусът на описаната около триъгълника окръжност е равен на корен от 3/3 см.

[ammornil]

Ъглите на триъгълник образуват АП. Намерете средната по големина страна, ако радиусът на описаната около триъгълника окръжност е равен на [tex]\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex] см.
Да се чете с приложения чертеж (чертежи за три случая, но решението не се променя от вида на триъгълника).
Нека ъгъл А е най-малък, а ъгъл С е най-голям. В триъгълника срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна, следователно при така избраното неравенство за ъглите средната по големина страна лежи срещу върха В, следователно търсим дължината на АС.

Понеже ъглите на триъгълника образват аритметична прогресия, то ако най-малкият ъгъл е х градуса, вторият по големина ще бъде (х+а) градуса, а третият (х+2а) градуса. където "а" е положително число и е стъпката на аритметичната прогресия.

Сборът от градусните мерки на ъглите на всеки триъгълник е 180 градуса.
[tex]x+ (x+a)+(x+2a)=180 \Rightarrow 3x+3a=180 \Rightarrow x+a=60 ^\circ[/tex]
Но х+а е точно градсуната мярка на средния ъгъл, следователно ъгъл АВС е 60 градуса.

Нека G е центърът на описаната около триъгълника окръжност. В тази окръжност ъгъл АВС е вписан, следователно [tex]\stackrel{\frown}{AFC}=2. \angle ABC=2.60=120 ^\circ[/tex]

Ъгъл AGC е централен ъгъл в описаната окръжност, следователно [tex]\angle AGC=\stackrel{\frown}{AFC}=120 ^\circ[/tex]

Остава да запишем косинусова теорема за АС в триъгълника AGC.
[tex]AC^2=AG^2+CG^2-2.AG.CG.cos \angle AGC \Leftrightarrow AC^2=R^2+R^2-2.R.R.cos\angle AGC \Leftrightarrow AC^2=2R^2.(1- cos\angle AGC) \Leftrightarrow AC=R.\sqrt{2.(1- cos\angle AGC)}[/tex]
[tex]AC=\frac{\sqrt{3}}{3}.\sqrt{2.(1- cos120 ^\circ )} \Leftrightarrow AC=\frac{\sqrt{3}}{3}.\sqrt{2.(1- (-\frac{1}{2} ))} \Leftrightarrow AC=\frac{\sqrt{3}}{3}.\sqrt{2.\frac{3}{2} }[/tex]
[tex]AC=\frac{\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3} \Leftrightarrow AC=1[/tex]

[tex][/tex]

[S.B.]

Ъглите на триъгълник образуват АП. Намерете средната по големина страна, ако радиусът на описаната около триъгълника окръжност е равен на корен от 3/3 см.

Друг поглед върху задачата, за който не се изисква чертеж

Ъглите на триъгълника образуват аритметична прогресия [tex]\Rightarrow[/tex] видът им е [tex]\alpha - d , \alpha , \alpha + d[/tex] и сумата им е [tex]180 ^\circ[/tex]
[tex]\alpha - d + \alpha + \alpha + d = 180 ^\circ \Leftrightarrow 3 \alpha = 180 ^\circ \Rightarrow \alpha = 60 ^\circ[/tex]
Получихме ,че средния по големина ъгъл е [tex]60 ^\circ[/tex] и срещу него лежи средната по големина страна на триъгълника - $x$
Прилагам Синусова теорема :
[tex]\displaystyle\frac{x}{sin60 ^\circ } = 2R \Leftrightarrow \displaystyle \frac{x}{\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} } = 2.\displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{3} \Leftrightarrow x = \displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2}.2. \frac{ \sqrt{3} }{3} \Rightarrow[/tex]
$$x = 1$$