Комбинирана задача от геометрична и аритметична прогресия

[Гост]

За членовете на аритметична прогресия a1, a2, a3 и на растяща геометрична прогресия b1, b2, b3 са в сила равенствата:
a1=b1, a2=b2+1, a3=b3-1 и b1+b2+b3=21. Намерете броя n на членовете на аритметичната прогресия, ако техният сбор е Sn=55.

[mail_dinko]

[tex]a_2 = \frac {a_1 + a_3 }{2}[/tex]
[tex]2b _2 + 2 = b_1 + b_3 - 1[/tex]
[tex]2b _ 1 q + 2 -b_ 1 - b_1 q^2 + 1=0[/tex]
[tex]b_1 q^2 -2 b_1 q +b _1 = 3[/tex]
[tex]b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = 21[/tex]
[tex]\frac {b_1 (q^2 -2 q +1)}{b_1 (q^2 + q +1 )} = \frac {3}{21} \Leftrightarrow 7q^2 - 14 q + 7 -q^2 -q - 1 =0[/tex]
[tex]6q^2 -15 q +6 =0 \Leftrightarrow 2q^2 -5 q +2 =0[/tex]
[tex]D = 25 - 16 = 9 = 3^2[/tex]
[tex]q_{1,2} = \frac {5 \pm 3}{4}[/tex]
По усл. е растяща геом. прогресия, следователно q=2
[tex]b_1 (2-1)^2 = 3 \Rightarrow b_1 = 3[/tex]
Геом. прогресия има следните членове 3;6;12
Аритм. пр. 3;7;11 - разликата е d=4
[tex]S_n = \frac {[2a_1 + d (n-1)]n}{2}[/tex]
[tex]55 = \frac {[6 + 4 (n-1)]n}{2} \Leftrightarrow 55 = \frac {2[3+2 (n-1)]n}{2} \Leftrightarrow 55 = n (3+2n-2) \Leftrightarrow 2n^2+n - 55 =0[/tex]
[tex]D = 1+ 440 = 21^2[/tex]
[tex]DM: n>0[/tex]
[tex]n = 5[/tex]
[tex]3;7;11;15;19[/tex]