Да се намерят три числа, образуващи геометрична прогресия

[Гост]

Да се намерят три числа, образуващи геометрична прогресия, ако сумата им е 35, а сумата от квадратите им е 525.
Здравейте , не ми е ясно в образуването на системата как се образува сумата от квадратите им ?

[S.B.]

Да се намерят три числа, образуващи геометрична прогресия, ако сумата им е 35, а сумата от квадратите им е 525.
Здравейте , не ми е ясно в образуването на системата как се образува сумата от квадратите им ?

[tex]\frac{..}{..} a , aq , a q^{2}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a + aq + a q^{2} = 35 \\ (a)^{2} + (aq)^{2} + (a q^{2}) ^{2} = 525 \end{array}[/tex]

Нека [tex]a = x , aq = y , a q^{2}= z[/tex]
Ще използвам формулата за квадрат на тричлен:

[tex](x + y + z)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2xy + 2xz + 2 yz \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} = (x + y + z)^{2} - 2xy - 2xz - 2 yz[/tex]

Знаем,че $x + y + z = 35, x.z = y^{2}$
[tex]\Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} = 35^{2} - 2y(x + y + z) \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} = 35^{2}- 2.y.35[/tex]

От[tex]\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 35^{2} - 70y\\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 525 \end{cases} \Rightarrow 35^{2} - 70y = 525 \Leftrightarrow 35 - 2y = 15 \Leftrightarrow 2y = 20 \Rightarrow y = 10[/tex]

От [tex]\begin{cases} y =10 \\ y = aq \end{cases} \rightarrow aq = 10[/tex]

Образувам системата:

[tex]\begin{array}{|l} aq = 10\\ a + aq +a q^{2} = 35 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} aq = 10 \\ a(1 + q + q^{2}) = 35 \end{array}[/tex]

Деля почленно първото на второто уравнение :

[tex]\frac{aq}{a(1 + q + q^{2}) } = \frac{10}{35} \Leftrightarrow 7q = 2 + 2q + 2 q^{2} \Leftrightarrow 2 q^{2} - 5q + 2 = 0 ,D = 9 , q_{1,2 } = \frac{5 \pm 3}{4}[/tex]

[tex]q_{1 } = 2, \Rightarrow a = 5[/tex]
$$\frac{..}{..} 5 ,10,20$$
[tex]q_{2 } = \frac{1}{2} \Rightarrow a = 20[/tex]
$$ \frac{..}{..} 20 , 10, 5$$