Геометрична прогресия - вярно ли съм решил задачата?

[Wiktor]

Здравейте. Задачата звучи така:
За геометрична прогресия са дадени:

q=[tex]\frac{1}{3}[/tex], [tex]a_{n }[/tex]=[tex]\frac{1}{9}[/tex], [tex]S_{n }[/tex]=[tex]\frac{364}{9}[/tex].
Да се намери [tex]а_{1 }[/tex] и n.

q - частно на прогресията
[tex]S_{n }[/tex] - сбор от членовете на прогресията.


Моето решение:
Използвам формулата за сбор от първите членове на геометрична прогресия: [tex]S_{n }[/tex]=[tex]\frac{a_{n }.q-a_{1 }}{q-1}[/tex], q[tex]\ne[/tex]1
Замествам със зададените стойности за да намеря [tex]a_{1 }[/tex]:

[tex]\frac{364}{9}[/tex]=[tex]\frac{ \frac{1}{9}. \frac{1}{3}- a_{1 } }{ -\frac{2}{3} }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex]-[tex]\frac{728}{3}[/tex]=[tex]\frac{1}{3}[/tex]-9[tex]a_{1 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] -728 = 1-27[tex]a_{1 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 27[tex]a_{1 }[/tex] =729 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]a_{1 }[/tex]=27

Дотук добре, намерих [tex]a_{1 }[/tex], но проблемът е, че не знам как да намеря n. Намерих стратегия, която мога да приложа, но заради пропуските в знанията ми е неуспешно; но ще се опитам да демонстрирам какво исках да направя.

От [tex]S_{n }[/tex]=[tex]\frac{a_{n }.q-a_{1 }}{q-1}[/tex], q[tex]\ne[/tex]1 замествам [tex]a_{n }[/tex] с [tex]a_{n }[/tex]=[tex]a_{1 }[/tex].[tex]q^{n-1 }[/tex]
Опростявам и стигам до формулата:
[tex]S_{n }[/tex] = [tex]a_{1 }[/tex].[tex]\frac{ q^{n }-1 }{q-1}[/tex], q[tex]\ne[/tex]1
Замествам (и оттук се получиха объркациите):
[tex]\frac{364}{9}[/tex]=27.[tex]\frac{ \frac{1}{3} ^{n } -1 }{ \frac{1}{3}-1 } \Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] -[tex]\frac{728}{3}[/tex]=27.9.([tex]\frac{ 1^{n } }{ 3^{n } }[/tex]-1)[tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex]-728=[tex]27^{2 }[/tex].([tex]\frac{ 1^{n } }{ 3^{n } }[/tex]-1)[tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] -[tex]\frac{728}{ 27^{2 } }[/tex] = [tex]\frac{ 1^{n } }{ 3^{n } }[/tex] - 1 [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] -[tex]\frac{728}{729}[/tex] + 1 =[tex]( \frac{1}{3} )^{n } \Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{729}{729}[/tex]-[tex]\frac{728}{729}[/tex]=[tex]\frac{ ( \frac{1}{3}) ^{n } }{729}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex]1=729.[tex]( \frac{1}{3} )^{n }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{729}[/tex]=[tex]( \frac{1}{3} )^{n }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{ 1^{6 } }{ 3^{6 } }[/tex] = [tex]( \frac{1}{3} )^{n }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]( \frac{1}{3} )^{6 }[/tex] = [tex]( \frac{1}{3} )^{n }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] n=6.

Този подход правилен е? Може би стигнах до правилния отговор, но някак си имам усещането, че съм изписал един куп глупости... Бих оценил каквито и да е мнения... Благодаря предварително!

[Евва]

Правилно сте получили [tex]а_{1 }[/tex]=27 .
Знаем [tex]a_{1 }[/tex]=27 ,[tex]a_{n }[/tex]=[tex]\frac{1}{9}[/tex] ,q=[tex]\frac{1}{3}[/tex] .
Използвай формулата [tex]a_{n }[/tex]=[tex]a_{1 }[/tex].[tex]q^{n-1 }[/tex] .

[tex]\frac{1}{9}[/tex]=27.([tex]\frac{1}{3}) ^{n-1 }[/tex]
...
n=6

[S.B.]

Дали е вярно?Вярно е,но аз бих ти препоръчала по-кратко решение :

[tex]a_{n } = \frac{1}{9},q = \frac{1}{3}[/tex]
От формулата за $n-$ тия член :
[tex]a_{n } = a_{1 } q^{n - 1 } \Leftrightarrow \frac{1}{9} = a_{1 } (\frac{1}{3}) ^{n - 1 } \Leftrightarrow 3^{- 2 } = a_{1 }. 3^{1-n } \Leftrightarrow a_{1 } = \frac{ 3^{- 2 } }{ 3^{1 - n } } \Leftrightarrow a_{1 } = 3^{-2-1+n } \Rightarrow[/tex]
$$a_{1 } = 3^{n - 3 } $$
От формулата за сумата на първите $n$ члена :

[tex]S_{n } = a_{1 } \displaystyle\frac{ q^{n } - 1}{q - 1} \Leftrightarrow \displaystyle \frac{364}{9} = 3^{n-3 }.\displaystyle \frac{ (\displaystyle \frac{1}{3}) ^{n } - 1}{\displaystyle \frac{1}{3} - 1 } \Leftrightarrow \displaystyle \frac{364}{ 3^{2 } } = 3^{n-3 }\displaystyle \frac{ 3^{- n }- 1 }{\displaystyle - \frac{2}{3} } \Leftrightarrow - 728 = 3^{2 }. 3^{n-2 }( 3^{-n } - 1) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]-728 = 3^{n }( 3^{-n } - 1) \Leftrightarrow -728 = 1 - 3^{n } \Rightarrow 3^{n } = 729 \Rightarrow 3^{n } = 3^{6 } \Rightarrow[/tex]
$$n = 6$$
От [tex]\begin{cases} n = 6 \\ a_{1 } = 3^{n - 3 } \end{cases} \Rightarrow a_{1 } = 3^{3 }[/tex]
Получи се:
$$a_{1 } = 3^{3 } = 27 ; n = 6 $$

Скрит текст: покажи

Използвай знанията,които имаш за действия със степени!Ще ти бъде по-лесно