геом. прогресийка

[Гост]

а1 и частно q = ? , ако

а1 + а2 + а3 = 21 и 1/а1 + 1/а2 + 1/а3 = 7/12

[ammornil]

а1 и частно q = ? , ако

а1 + а2 + а3 = 21 и 1/а1 + 1/а2 + 1/а3 = 7/12

[tex]a_{n}=a_{1}.q^{n-1} \Rightarrow \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}=\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{1}q}+\frac{1}{a_{1}q^{2}}=\frac{1}{a_{1}}\left(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^{2}} \right)=\frac{1}{a_{1}}\left( \frac{q^{2}+q+1}{q^{2}} \right)=\frac{7}{12}[/tex]

[tex]S_{n}=a_{1}\frac{1-q^{n}}{1-q} \Rightarrow a_{1}+a_{2}+a_{3}=S_{3}=a_{1}\frac{1-q^{3}}{1-q}=21 \Leftrightarrow a_{1}=\frac{21(1-q)}{1-q^{3}} \Rightarrow \frac{1}{a_{1}} = \frac{1-q^{3}}{21(1-q)}=\frac{(1-q)(1+q+q^{2})}{21(1-q)}=\frac{1+q+q^{2}}{21}[/tex]

[tex]\frac{1}{a_{1}}\left( \frac{q^{2}+q+1}{q^{2}} \right)=\frac{7}{12} \Leftrightarrow \frac{1+q+q^{2}}{21}\left( \frac{q^{2}+q+1}{q^{2}} \right)=\frac{7}{12} \Leftrightarrow \underbrace{\frac{(q^{2}+q+1)^{2}}{21q^{2}}=\frac{7}{12}}_{84q^{2}} \Leftrightarrow 4(q^{2}+q+1)^{2}=49q^{2} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]4(q^{4}+q^{2}+1+2q^{2}.q+2q^{2}.1+2q.1)-49q^{2}=0 \Leftrightarrow 4q^{4}+8q^{3}+12q^{2}+8q+4-49q^{2}=0 \Leftrightarrow 4q^{4}+8q^{3}-37q^{2}+8q+4=0[/tex]

От метод (решетка) на Хорнер можем да намерим две решения.

Screenshot 2022-11-27 173821.png (8.22 KiB) Прегледано 1300 пъти

Изразът се свежда до:
[tex]\left(q-\frac{1}{2} \right)(q-2)(4q^{2}+18q+4)=0 \Leftrightarrow 2\left(q-\frac{1}{2} \right)(q-2)(2q^{2}+9q+2)=0[/tex]
Последният квадратен тричлен решаваме с формула за корените на квадратен тричлен:
[tex]2q^{2}+9q+2=0 \rightarrow D=9^{2}-4.2.2=81-16=65 \Rightarrow x_{1,2}=\frac{-9\pm\sqrt{65}}{4}[/tex]

Следователно имаме четири реални решения за частното [tex]q = \begin{cases} \frac{1}{2} \\ 2 \\ \frac{-9+\sqrt{65}}{4} \\ \frac{-9-\sqrt{65}}{4} \end{cases}[/tex]
и следва да намерим четири стойности на първия член [tex]a_{1}=\frac{21(1-q)}{1-q^{3}} \Rightarrow a_{1}=\frac{21}{q^{2}+q+1}[/tex]

[tex]q_{1}=\frac{1}{2} \rightarrow a_{1,1}=\frac{21}{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1}=\frac{4.21}{7}=12[/tex]

[tex]q_{2}=2 \rightarrow a_{1,2}=\frac{21}{4+2+1}=\frac{21}{7}=3[/tex]

[tex]q_{3}= \frac{-9+\sqrt{65}}{4} \rightarrow a_{1,3}=\frac{21}{ \frac{(-9+\sqrt{65})^{2}}{16}+ \frac{-9+\sqrt{65}}{4}+1}=\frac{21}{\frac{81-18\sqrt{65}+65-36+4\sqrt{65}+16}{16}}=\frac{21.16}{126-14\sqrt{65}}.\frac{126+14\sqrt{65}}{126+14\sqrt{65}}=[/tex]
[tex]\phantom{QQQWQQQ} =\frac{3.7.2^{4}.(126+14\sqrt{65})}{126^{2}-14^{2}.65}=\frac{3.7.2^{4}.(126+14\sqrt{65})}{2^{6}.7^{2}}=\frac{3.(126+14\sqrt{65})}{2^{2}.7}=\frac{3.(126+14\sqrt{65})}{28}[/tex]

[tex]q_{4}= -\frac{9+\sqrt{65}}{4} \rightarrow a_{1,4}=\frac{21}{ \frac{(9+\sqrt{65})^{2}}{16}- \frac{9+\sqrt{65}}{4}+1}=\frac{21}{\frac{81+18\sqrt{65}+65-36-4\sqrt{65}+16}{16}}=\frac{21.16}{126+14\sqrt{65}}.\frac{126-14\sqrt{65}}{126-14\sqrt{65}}=[/tex]
[tex]\phantom{QQQWQQQ} =\frac{3.7.2^{4}.(126-14\sqrt{65})}{126^{2}-14^{2}.65}=\frac{3.7.2^{4}.(126-14\sqrt{65})}{2^{6}.7^{2}}=\frac{3.(126-14\sqrt{65})}{2^{2}.7}=\frac{3.(126-14\sqrt{65})}{28}[/tex]

Прегледайте сметките, защото в LaTeX е малко трудно да ги следя, но генералното решение е по този алгоритъм.

[pal702004]

$\begin{array}{|l} x(1+q+q^2)=21 \\ \\ \dfrac{1+q+q^2}{xq^2}=\dfrac{7}{12} \end{array}$

Ако разделим първото на второто, получаваме
$x^2q^2=6^2$ или $xq=\pm 6$. Като $x$ е положително. (Понеже $1+q+q^2$ винаги е положително)

Ако ги умножим получаваме съответно

$\left(\dfrac{1+q+q^2}{q}\right)^2=\left(\dfrac 7 2\right)^2$ или $\dfrac{1+q+q^2}{q}=\pm \dfrac 7 2$

Което се свежда до две квадратни уравнения:
$2q^2-5q+2=0$
$2q^2+9q+2=0$

Корените на първото са $q_1=2,q_2=\frac 1 2$. И съответно $x_1=3,x_2=12$.

Корените на второто са $q_3=-\dfrac{9+\sqrt{65}}{4},q_4=-\dfrac{9-\sqrt{65}}{4}$. Съответно

$x_3=\dfrac{6\cdot 4}{9+\sqrt{65}}=\dfrac{6\cdot 4 \cdot (9-\sqrt{65})}{16}=\dfrac{3(9-\sqrt{65})}{2}$

Аналогично $x_4=\dfrac{3(9+\sqrt{65})}{2}$

$(a_1;q)=(3;2),\left(12;\frac 1 2\right), \left(\dfrac{3(9-\sqrt{65})}{2};-\dfrac{9+\sqrt{65}}{4}\right),\left(\dfrac{3(9+\sqrt{65})}{2};-\dfrac{9-\sqrt{65}}{4}\right) $

[pal702004]

Всъщност можем и да не ги умножаваме. След $xq= \pm 6$, а това е втория член, тоест, прогресията има вид

$x,6,\frac{36}{x}$ или $x,-6,\frac{36}{x}$. Като $q=\frac 6 x$ в първия случай, съответно $-\frac 6 x$ във втория.

Трябва да приравним сбора на тези три числа към 21- пак две квадратни уравнения.