геометрична прогресия

[Гост]

Четири числа образуват геометрична прогресия. Сборът на двете крайни числа е 27, а произведението на двете средни числа е 72. Намерете числата.

[S.B.]

Четири числа образуват геометрична прогресия. Сборът на двете крайни числа е 27, а произведението на двете средни числа е 72. Намерете числата.

Нека числата са:
[tex]\frac{..}{..} a , aq , a q^{2 } , a q^{3 }[/tex]

Според условието: [tex]a + a q^{3 } = 27[/tex] , а [tex]aq.a q^{2 } = 72[/tex]
Образувам системата:

[tex]\begin{array}{|l} а + а q^{3 } = 27 \\ a^{2 } q^{3 } = 72 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a + a q^{3 } = 27 \\a.a q^{3 } = 72 \end{array}[/tex]

Полагам [tex]a q^{3 } = t[/tex] , замествам и получавам:

[tex]\begin{array}{|l} a + t = 27 \\ a.t = 72 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a = 27 - t \\ t(27 - t) = 72 \end{array} \Rightarrow t^{2 } - 27t +72 = 0, D = 441 , t_{1,2 } = \frac{27 \pm 21}{2} , t_{1 } = 3, t_{2 } = 24[/tex]
От тук нататък можеш да се справиш и сам(а) - намираш $a$ ,а после и $q$ .Успех!

[ammornil]

Четири числа образуват геометрична прогресия. Сборът на двете крайни числа е 27, а произведението на двете средни числа е 72. Намерете числата.

[tex]\ddot{=} \> a_{1}, \> a_{1}q,\> a_{1}q^{2},\> a_{1}q^{3}, \text{ДМ}: (a_{1}\ne0, q \ne 0) - \text{В противен случай всички елементи ще бъдат нула и всички суми и произведения на две числа също ще бъдат нула.}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a_{1}+a_{1}q^{3}=27 \\ a_{1}q.a_{1}q^{2}= 72 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1}q^{3}=27-a_{1} \\ a_{1}^{2}q^{3}= 72 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} q^{3}=\frac{27-a_{1}}{a_{1}} \\ \> \\ a_{1}^{2}\frac{27-a_{1}}{a_{1}}= 72 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} q^{3}=\frac{27}{a_{1}} -1 \\ \> \\ a_{1}(27-a_{1})= 72 \end{array}[/tex]

Скрит текст: покажи

Решаваме второто уравнение
[tex]27a_{1}-a_{1}^{2}-72=0 \Leftrightarrow a_{1}^{2}-27a_{1}+72=0 \rightarrow D=(-27)^{2}-4.1.72=729-288=441=21^{2} \Rightarrow a_{1_{1,2}}=\frac{27 \pm 21}{2.1} \begin{cases} a_{1_{1}}=3 \\ a_{1_{2}} = 24 \end{cases}[/tex]
Връщаме резултатите в оригиналната система
[tex]\begin{array}{|l} a_{1_{1}}=3 \\ q_{1_{1}}^{3}= \frac{27}{3}-1 \end{array} \cup \begin{array}{|l} a_{1_{2}}=24 \\ q_{1_{2}}^{3}= \frac{27}{24}-1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1_{1}}=3 \\ q_{1_{1}}^{3}= 2^{3} \end{array} \cup \begin{array}{|l} a_{1_{2}}=24 \\ q_{1_{2}}^{3}= \frac{1}{8} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1_{1}}=3 \in \text{ДМ} \\ q_{1_{1}}= 2 \in \text{ДМ} \end{array} \cup \begin{array}{|l} a_{1_{2}}=24 \in \text{ДМ} \\ q_{1_{2}}= \frac{1}{2} \in \text{ДМ} \end{array}[/tex]

$$a_{1}=3, q=2 \Rightarrow \ddot{=} 3, 6, 12, 24 // a_{1}=24, q=\frac{1}{2} \Rightarrow \ddot{=} 24, 12, 6, 3 $$

[Гост]

Здравейте, може ли помощ за следната задача :
Да се намерят стойностите на параметъра m, така че корените x1, x2, x3 на уравнението x^3-14x^2-84x+m=0 да образуват геометрична прогресия