ар. и геом. прогресия.Докажете

[Гост]

Числата a , b и c образуват аритемтична прогресия.
Докажете , че числата 2 ; a^2 + 4b^2 + c^2 ; a^4 + 16b^4 + c^4
образуват геометрична прогресия..

[mail_dinko]

Аритметична прогресия: [tex]a;b;c[/tex]
[tex]d=b-a=c-b\Rightarrow b = \frac {a+c}{2}[/tex]
Геометрична прогресия: [tex]2 ; a^2 + 4b^2 + c^2 ; a^4 + 16b^4 + c^4[/tex]
[tex]q = \frac { a^2 + 4b^2 + c^2}{2} = \frac {a^4 + 16b^4 + c^4}{ a^2 + 4b^2 + c^2}\Leftrightarrow 2(a^4 + 16b^4 + c^4) = (a^2+4b^2+c^2)^2[/tex]
[tex]2[a^4 + \cancel {16}.\frac {(a+c)^4}{\cancel {2^4}} + c^4] = (a^2+ \cancel {4}.\frac {(a+c)^2}{\cancel {2^2}}+c^2)^2[/tex]
[tex]2a^4+2[(a+c)^2]^2+2c^4 = (a^2+c^2+a^2+c^2 + 2ac)^2[/tex]
[tex]2a^4+2c^4 + 2 [a^2+2ac+c^2]^2= (2a^2+2c^2+2ac)^2[/tex]
[tex]2a^4+2c^4+2 [a^4+2a^3c+a^2c^2 + 2a^3c+4a^2c^2+2ac^3+a^2c^2+2ac^3+c^4]=4a^4+4a^2c^2+4a^3c+4a^2c^2+4c^4+4ac^3+4a^3c+4ac^3+4a^2c^2[/tex]
[tex]\cancel {2a^4+2c^4+2 a^4}+4a^3c+2a^2c^2 + 4a^3c+8a^2c^2+4ac^3+2a^2c^2+4ac^3\cancel {+2c^4}=\cancel {4a^4}+4a^2c^2+4a^3c+4a^2c^2\cancel {+4c^4}+4ac^3+4a^3c+4ac^3+4a^2c^2[/tex]
[tex]4a^3c+2a^2c^2 + 4a^3c+8a^2c^2+4ac^3+2a^2c^2+4ac^3=+4a^2c^2+4a^3c+4a^2c^2+4ac^3+4a^3c+4ac^3+4a^2c^2[/tex]
[tex]8a^3c+12a^2c^2+8ac^3=8a^3c+12a^2c^2+8ac^3[/tex]
Равенството е тъждество