Числови редици спешно

[Гост]

Утре имам класно, което ако не взема най-вероятно ще имам 2ка за срока. Може ли някой да ми обясни как точно трябва да проверя дали редицата е монотонна, защото се мъча през последния час и не мога да разбера.

[ammornil]

Утре имам класно, което ако не взема най-вероятно ще имам 2ка за срока. Може ли някой да ми обясни как точно трябва да проверя дали редицата е монотонна, защото се мъча през последния час и не мога да разбера.

Може би е следващите дни някой от преподавателите, участващи в този форум, ще даде по-добро обяснение, но ето една кратка версия от мен.

Монотонна, в най-общия смисъл означава, че се изменя по един и същи начин във всяка посочка. Например, редица за която всеки член е по-малък от дясно стоящия си е монотонно растяща, а редица за която всеки член е по-голям от следващия (което е друг начин да кажем от дясно стоящия) е монотонно намаляваща. Няма отношение към това с колко се изменя стойността на всеки следващ член, а само как се изменя. Ако винаги расте, значи е монотонно растяща. Ако винаги намалява отляво надясно значи е монотонно намаляваща.
Ако всички членове на една редица са по-малки по стойност от дадена константа, то казваме че редицата е ограничена отгоре и границата и е тази константа.
Ако всички членове на една редица са по-големи по стойност от дадена константа, то казваме че редицата е ограничена отдолу.

За функции, монотонност има подобно значение, но обикновено има смисъл в ограничени интервали за стойностите на променливата.

Сходимост е следствие от ограниченост, като всяка ограничена редица е сходяща.

Има множество интересни (специални) редици и техните частични или безкрайни суму, които трябва да се познават за практическото решаване на проблеми от теми Монотонност и Сходимост. Не мисля, че е възможно в един пост да се представи целия проблем. Надявам се горното да Ви е от някаква полза.

Обикновено изразяваме два поредни члена на редицата чрез формата на общия член, намираме тяхната разлика и проверяваме дали е положителна или отрицателна, за да определим дали расте или намалява.

Например:
(1) [tex]a_{n}=\frac{1}{n}, n \in N[/tex]
Два поредни члена [tex]k[/tex] и [tex]k+1[/tex] имат вида [tex]\begin{array}{l} \large{ a_{k}=\frac{1}{k}} \\ \large{a_{k+1}=\frac{1}{k+1}} \end{array} , \hspace{1em} k \in N[/tex]

[tex]a_{k}-a_{k+1}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}=\frac{k+1-k}{k(k+1)}=\frac{1}{k(k+1)}[/tex]. Понеже [tex]\hspace{1em} k \in N \Rightarrow a_{k}-a_{k+1}>0 \Rightarrow[/tex] редицата е монотонно намаляваща, защото ляво стоящият член е по-голям от дястно стоящия (имат положителна разлика взети в този ред).

(2) [tex]a_{n}=-n^{2}, n \in N[/tex]
Два поредни члена [tex]k[/tex] и [tex]k+1[/tex] имат вида [tex]\begin{array}{l} a_{k}=-k^{2} \\ a_{k+1}=-(k+1)^{2} \end{array} , \hspace{1em} k \in N[/tex]

[tex]a_{k}-a_{k+1}=-k^{2}-[-(k+1)^{2}]=-k^{2}+k^{2}+2k+1=2k+1[/tex]. Понеже [tex]\hspace{1em} k \in N \Rightarrow a_{k}-a_{k+1}>0 \Rightarrow[/tex] редицата е монотонно намаляваща, защото ляво стоящият член е по-голям от дястно стоящия (имат положителна разлика взети в този ред).

(3) [tex]a_{n}=n, n \in N[/tex]
Два поредни члена [tex]k[/tex] и [tex]k+1[/tex] имат вида [tex]\begin{array}{l} a_{k}=k \\ a_{k+1}=k+1 \end{array} , \hspace{1em} k \in N[/tex]

[tex]a_{k}-a_{k+1}=k-(k+1)=k-k-1=-1[/tex]. Понеже [tex]a_{k}-a_{k+1}<0 \Rightarrow[/tex] редицата е монотонно растяща, защото ляво стоящият член е по-малък от дястно стоящия (имат отрицателна разлика взети в този ред).

[KOPMOPAH]

Дано горните обяснения стигнат до човека, на когото спешно му дотрябваха в 9:16 pm преди класното...