по-трудна аритметична програсия

[martin123456]

Нека [tex]\{a_n\}[/tex] е аритметична прогресия, такава че [tex]a_1 \in \mathbb{Z}[/tex] и [tex]a_{20} \in \mathbb{Z}[/tex]. Докажете, че или [tex]a_2,a_3,\ldots,a_{19} \in \mathbb{Z}[/tex] или [tex]a_2,a_3,\ldots,a_{19} \not \in \mathbb{Z}[/tex].

[estoyanovvd]

Твърдението остава в сила и за [tex]a_{1}[/tex] и [tex]a_{p+1}[/tex]. Където р е просто число. Нали?

[martin123456]

горе долу

[estoyanovvd]

[tex]a_{20}=a_{1}+19d=>d=\frac{k}{19 }[/tex], където к е цяло число.
Тогава [tex]a_{2}=a_{1}+d=a_{1}+\frac{k}{19 }[/tex]. Ако [tex]a_{1}+\frac{k}{19 }[/tex] е цяло число, то [tex]\frac{k}{19 }[/tex] е цяло число и от там и всяко а до а деветнадесет също е цяло.
Нека сега [tex]a_{1}+\frac{k}{19 }[/tex] не е цяло число. Тогава [tex]k=19m+l[/tex], където [tex]l\in(1;18)[/tex]. Да допуснем, че [tex]a_{q}[/tex], където [tex]q\in 2;19)[/tex] е цяло число. Това означава, че
[tex](q-1).\frac{k}{19 }[/tex] е цяло, т.е [tex](q-1).\frac{19m+l}{19 }=t[/tex] (t -цяло).
Опростявайки последното равенство получаваме [tex](q-1).l=19A[/tex], т.е [tex](q-1).l[/tex] се дели на 19,
което е невъзможно защото и двата множителя са между едно и осемнадесет. Противоречие! С това всичко е доказано.

[martin123456]

да

[estoyanovvd]

Задачата би могла да се обобщи освен за p+1, където p е просто и за други, но сега не ми се мисли по въпроса.