Сборът на първите пет члена е 372.

[Гост]

Сборът на първите пет члена на безкрайно намаляваща геометрична прогресия е 372, а сборът на членовете с четни номера е два пъти по-малък от сбора на членовете с нечетни номера. Да се намери прогресията.

[mail_dinko]

От даденото за сумата съставяме:
[tex][/tex]
[tex]\begin{array}{|l} a_1 . \frac {q^5-1}{q-1}=372 \\ \frac {a_1q+a_1q^3}{a_1+a_1q^2} = \frac 12 \Rightarrow \frac {a_1(q+q^3)}{a_1(1+q^2)} = \frac 12 \end{array}[/tex]
След съкращаване на q различно от нула
[tex]2q+2q^3-1-q^2=0[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} 2q^3-q^2+2q-1=0 \Leftrightarrow q^2(2q-1)+2q-1=0 \Rightarrow (2q-1)(q^2+1)=0 \Rightarrow q= \frac 12\\ a_1 . \frac {q^5-1}{q-1}=372 \Rightarrow a_1 = 192 \end{array}[/tex]
Членовете са:
192;96;48;24;12

[pal702004]

От даденото за сумата съставяме:
[tex][/tex]
[tex]\begin{array}{|l} a_1 . \frac {q^5-1}{q-1}=372 \\ \frac {a_1q+a_1q^3}{a_1+a_1q^2} = \frac 12 \Rightarrow \frac {a_1(q+q^3)}{a_1(1+q^2)} = \frac 12 \end{array}[/tex]
След съкращаване на q различно от нула
[tex]2q+2q^3-1-q^2=0[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} 2q^3-q^2+2q-1=0 \Leftrightarrow q^2(2q-1)+2q-1=0 \Rightarrow (2q-1)(q^2+1)=0 \Rightarrow q= \frac 12\\ a_1 . \frac {q^5-1}{q-1}=372 \Rightarrow a_1 = 192 \end{array}[/tex]
Членовете са:
192;96;48;24;12

Съкращаването тук е на $a_1(1+q^2)$ откъдето веднага следва $q=\frac 1 2$

Само че членовете с нечетни номера са три на брой, а не две, така че решението е направилно.

[pal702004]

$a_1=63\left(3-\sqrt 2+\sqrt{2\sqrt 2 -1}\right) \approx 182.154753$

$q=\dfrac{1+\sqrt 2-\sqrt{2\sqrt 2 -1}}{2} \approx 0.53101$

Само че става въпрос на сбора на четни/нечетно членове на безкрайната прогресия.

Сбора на безкрайна геом. прогресия с частно $q^2$

$a_1\cdot \dfrac{1}{1-q^2}=2a_1q\dfrac{1}{1-q^2} \Rightarrow q=\frac 1 2$

И отговора на mail_dinko се оказа верен, макар с невярно решение.

[mail_dinko]

И аз смятам, че решението ми е неправилно, но АКО ТРЯБВА ДА БЪДА честен, като решавах с първите 5 члена (вместо с 4), получих уравнение от 4та степен за q, което не можах да реша. Използвах wolframalpha и получих 2 ирац. корена.
После реших да пробвам с първите 4 члена и "докарах" хубави числа. Но смятам, че не е редно да се очаква такъв тип решение - с нагласяване, все пак математиката е точна наука.