Кои са числата?

[Гост]

Сумата на три числа,които образуват геометрична прогресия е 78.Те могат да се разглеждат и като първи,трети и девети член на аритметична прогресия.Кои са тези числа?

[Гост]

[tex](a+2d)^{2 }[/tex]=a(a+8d)
3a+10d=78
6;18;54

[ptj]

От условието за геометрична прогресия следва, че числата са : [tex]x, y , \frac{y^2}{x}[/tex]

[tex]x+y+ \frac{y^2}{x} =78[/tex]

От условието за аритметична прогресия :

[tex]y-x=2d[/tex]

[tex]\frac{y^2}{x} -y=6d[/tex]

Съществено е, че от условието за аритметична прогресия следва [tex]x \ne y[/tex].

За да елиминираме [tex]d[/tex] последните две уравнения може да заменим с
[tex]3(y-x)=\frac{y^2}{x} -y[/tex]

Получихне системата:

[tex]x^2-78x+xy+y^2=0[/tex]

[tex]3x^2-4xy+y^2=0[/tex]

Второто уравнение е еквивалентно на:

[tex](y-2x)^2=x^2 \Leftrightarrow y-2x= \pm x[/tex]


Първи случай: [tex]y-2x=x \Leftrightarrow 3x=y[/tex]

Връщаме се в първото уравнение на системата:

[tex]x+3x+ \frac{(3x^2)}{x} =78 \Leftrightarrow 12x=78 \Leftrightarrow x=6 \Leftrightarrow y=18[/tex]

За този случай числата са 6, 18 и 54.


Втори случай: [tex]y-2x=-x \Leftrightarrow y=x[/tex].
Няма решение, защото противоречи на ограничението [tex]x \ne y[/tex].

[ammornil]

Сумата на три числа,които образуват геометрична прогресия е 78.Те могат да се разглеждат и като първи,трети и девети член на аритметична прогресия.Кои са тези числа?

[tex]a_{1}\ne 0, d \ne 0 \rightarrow \div a_{1}, a_{1}+d, a_{1}+2d, \cdots \Rightarrow a_{3}=a_{1}+2d, a_{9}=a_{1}+8d[/tex]

[tex]\ddot{-} b_{1}, b_{2}, b_{3}, \cdots \Rightarrow b_{2}^{2}=b_{1}\cdot b_{3}[/tex]
[tex]b_{1}=a_{1}, b_{2}=a_{3}, b_{3}=a_{9}[/tex]
[tex]b_{1}+b_{2}+b_{3}=78 \Rightarrow a_{1} + a_{1}+2d+a_{1}+8d=78 \Leftrightarrow 3a_{1}+10d=78 \Rightarrow a_{1}=\frac{78-10d}{3}[/tex]
[tex]b_{2}^{2}=b_{1}\cdot b_{3} \Rightarrow (a_{1}+2d)^{2}=a_{1}\cdot{(a_{1}+8d)} \Leftrightarrow a_{1}^{2}+4\cdot a_{1} \cdot d+4d^{2}=a_{1}^{2}+8\cdot a_{1}\cdot d \Leftrightarrow 4d^{2}-4\cdot a_{1} \cdot d=0 \Leftrightarrow d^{2}- a_{1} \cdot d=0[/tex]

[tex]\Rightarrow d^{2}- \frac{78-10d}{3} \cdot d=0 \Leftrightarrow 3d^{2}-78d+10d^{2}=0 \Leftrightarrow d\cdot (13d-78)=0 \Rightarrow \begin{cases} d_{1}=0 \notin \text{ ДМ} \\ d_{2}=6 \in \text{ ДМ} \end{cases}[/tex]

[tex]d=6 \Rightarrow a=\frac{78-10\cdot 6}{3}=6[/tex]$$ b_{1}=a_{1}=6, \hspace{1.5em} b_{2}=a_{1}+2d=18, \hspace{1.5em} b_{3}=a_{1}+8d=54, $$