Геометрична прогресия

[Гост]

Здравейте, може ли помощ за следната задача :
Да се намерят стойностите на параметъра m, така че корените x1, x2, x3 на уравнението x^3-14x^2-84x+m=0 да образуват геометрична прогресия

[S.B.]

Здравейте, може ли помощ за следната задача :
Да се намерят стойностите на параметъра m, така че корените x1, x2, x3 на уравнението x^3-14x^2-84x+m=0 да образуват геометрична прогресия

Даденото уравнение е :
$$x^{3 } - 14 x^{2 } - 84 x + m = 0 $$

Нека [tex]x_{1 } = a, x_{2 }= aq , x_{3 } = a q^{2 }[/tex] ( Защото корените образуват геометрична прогресия)

Използвам формулите на Виет:
[tex]\begin{array}{|l} x_{1 }+ x_{2 }+ x_{3 }= -\displaystyle \frac{b}{a} \\ x_{1 } x_{2 } + x_{1 } x_{3 } + x_{1 } x_{3 } =\displaystyle \frac{c}{a}\\ x_{1 } x_{2 } x_{3 } = -\displaystyle \frac{d}{a} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x_{1 }+ x_{2 }+ x_{3 } = 14 \\ x_{1 } x_{2 } + x_{1 } x_{3 } + x_{2 } x_{3 } = -84\\ x_{1 } x_{2 } x_{3 } = - m\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a + aq + a q^{2 } = 14 \\ a^{2 }q + a^{2 } q^{3 } + a^{2 } q^{2 } = -84\\a.aq.a q^{2 } = -m \end{array} \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} a(1 + q + q^{2 }) = 14 \\ a^{2 }q(1 + q + q^{2 }) = -84\\ a^{3 } q^{3 } = -m \end{array}[/tex]

Деля почленно второто на първото уравнение:[tex]\frac{ a^{2 }q(1 + q + q^{2 }) }{a(1 + q + q^{2 }) }= - \frac{84}{14} \Rightarrow aq = - 6[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} aq = -6 \\ a^{3 } q^{3 } = -m \end{array} \Leftrightarrow (-6)^{3 } = -m \Leftrightarrow -216 = -m[/tex]
$$\Rightarrow m = 216$$

[Гост]

Много благодаря за решението, изключително полезно ми е!