докажете, че е монотонна

[Гост]

Докажете, че: an = [tex]\frac{3n-1}{n+5}[/tex] е монотонна

[peyo]

Докажете, че: an = [tex]\frac{3n-1}{n+5}[/tex] е монотонна

Да видим знака на [tex]a_n-a_{n-1}[/tex]

[tex]a_n-a_{n-1} = \frac{3n-1}{n+5} - \frac{3(n-1)-1}{(n-1)+5}[/tex]

In [158]: u = (3*n-1)/(n+5) - (3*(n-1)-1)/((n-1)+5)

In [163]: expand(simplify(u))
Out[163]: 16/(n**2 + 9*n + 20)

[tex]a_n-a_{n-1} = \frac{16}{n^{2} + 9 n + 20}[/tex]

Да видим корените на квадратното уравнение:

In [157]: solve(n**2 + 9*n + 20)
Out[157]: [-5, -4]

Да нарисуваме параболата:


In [161]: plot(1/u)

Figure_parabn.png (19.82 KiB) Прегледано 1198 пъти

От -4 нагоре знака е само положителен, значи редицата от 1 е монотонно нарастваща.

[ptj]

[tex]a_n=\frac{3n-1}{n+5}= \frac{3n+15-16}{n+5}=3-16\frac{1}{n+5}[/tex]

Понеже [tex]\{ \frac{1}{n+5}\}[/tex] е монотонна, то и изходната редица е монотонна.