Геометрична прогресия

[ceneto92]

Четири члена образуват геометрична прогресия. Сборът на първия и втория и сборът на третия и четвъртия се отнасят тъй както 1 : 4, а произведението на първия и втория е с 10 по-голямо от четвъртия член. Да се намерят числата.

[prodanov]

Четири члена образуват геометрична прогресия. Сборът на първия и втория и сборът на третия и четвъртия се отнасят тъй както 1 : 4, а произведението на първия и втория е с 10 по-голямо от четвъртия член. Да се намерят числата.

[tex]\begin{tabular}{|l}a_1q^2 + a_1q^3 = 4x\\a_1 + a_1q = x \\ a_1^2q = 10a_1q^3 \end{tabular}[/tex]

[tex]\frac{a_1q^2\cancel{(a_1 + a_1q)}}{\cancel{a_1 + a_1q}} \frac{4\cancel x}{\cancel x}[/tex]

След стъклем дом щи я довърша.

[tex]\begin{tabular}{|l}a_1q^2=4; => a_1 \ne 0; q \ne 0 \\ a_1^2q = 10a_1q^3 :/a_1q \end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}a_1q^2=4 \\ a1=10q^2 \end{tabular}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}q^4=\frac{2}{5}; => q = \pm {\frac{\sqrt[4]10}{5}} \\ a1=10(\pm \frac{\sqrt10}{5}) \end{tabular}[/tex]

[tex]A<a_1,q> = \{(2\sqrt10, \frac{\sqrt[4]10}{5}), (-2\sqrt10, -\frac{\sqrt[4]10}{5})\}[/tex]

[ceneto92]

Не си обърнал внимание на последното условие .. "произведението на първите два члена е с 10 по-голямо от четвъртия ..
Мисля, че трябва в системата да се отрази така - a1.a1q = 10 + a1q3.

[prodanov]

Става по-сложно така. След даскало ще пробвам пак.
Междувременно ако има някой друг ентусиаст, нека удари едно рамо.

[L.e.o]

a1=5, q=2

[loving_math]

Има още една такава прогресия, ето ги двечките
[tex]a_{1 } =5 , q=2[/tex]
[tex]a_{1 } =-1 , q=2[/tex]
Ще се опитам долу накратко да покажа защо.
Нека членовете в прогресията са [tex]a_{1 },a_{2 } ,a_{3 },a_{4 }[/tex] или
[tex]a_{1 }; a_{1 }q; a_{1 }q^2; a_{1 }q^3[/tex]
Тогава първото ни уравнение произлиза от пропорцията, а именно:
[tex]\frac{a_{1 }+a_{1 }q}{ a_{1 }q^2+a_{1 }q^3}=\frac{1}{4 }[/tex]
[tex]4a_{1 }+4a_{1 }q=a_{1 }q^2+ a_{1 }q^3[/tex]
Разделяме и двете страни на [tex]a_{1 }[/tex]
=>[tex]4+4q=q^2+q^3[/tex]
[tex]q^3+q^2-4q-4=0[/tex]
[tex]q_{1 }=2, q_{2 }=-2,q_{3 }=-1[/tex]
Ред е на второто уравнение
[tex]a_{1 }. a_{1 }q-10= a_{1 }q^3[/tex]
Като заместим с получените горе стойности за q, имаме 3 квадратни уравнения, две от които нямат решения.
Остава само [tex]2a^2-8a-10=0[/tex]
Или иначе казано две възможности за първи член на прогресията, а оттам вече и две отделни прогресии
a1=5,q=2 и a1=-1,q=2

[Wiktor]

Ето едно "изчистено" решение.

Нека тези четири числа са [tex]а_{1 }[/tex], [tex]а_{1 }q[/tex], [tex]а_{1 } q^{2 }[/tex], [tex]а_{1 } q^{3 }[/tex]

Дадено ни е по условие, че сборът на първите две числа (т.е. [tex]а_{1 }[/tex], [tex]а_{1 }q[/tex]) и сборът на последните две числа (т.е. [tex]а_{1 } q^{2 }[/tex], [tex]а_{1 } q^{3 }[/tex]) се отнасят тъй както 1:4. Тълкуваме го така:

[tex]\frac{ а_{1 } + а_{1 }q }{ а_{1 } q^{2 } + а_{1 } q^{3 } }[/tex] = [tex]\frac{1}{4}[/tex].
За да си спестя сметките, тук правя така, че да се оттърва от променливата [tex]а_{1 }[/tex], като я изведа по един или друг начин като множител.

[tex]\frac{ а_{1 }(1+q) }{ а_{1 } q^{2 }(1+q) }[/tex] = [tex]\frac{1}{4}[/tex]

Като съкратя получавам:

[tex]\frac{1}{ q^{2 } }[/tex] = [tex]\frac{1}{4}[/tex]
Правя на кръст и получавам:
[tex]q^{2 } = 4[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] q [tex]=\pm[/tex] 2

Така. Ще продължа с условието. Дадено ни е също, че произведението [tex]а_{1 }* а_{1 }q[/tex] е равно на 10+ [tex]а_{1 } q^3[/tex].
Знаем, че q [tex]=\pm[/tex]2.
Оттам замествам, но първо ще си хвана q = 2.

Oт q=2 [tex]\Rightarrow[/tex] 2[tex]а_{1 } ^{2 }[/tex] = 10 + 8[tex]а_{1 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 2[tex]а_{1 } ^{2 }[/tex] - 8[tex]а_{1 }[/tex]-10 = 0 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]а_{1 } ^{2 } - 4 а_{1 } - 5 = 0[/tex].
Получихме едно квадратно уравнение. Намираме дискриминантата и корените.
Ще използвам D = [tex]k^{2 } - аc[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] D = [tex]3^{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]q_{1,2 }[/tex] = 2[tex]\pm[/tex]3 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]q_{1 } = 5; q_{2 } = -1[/tex].

Сега си хващам [tex]q=-2[/tex]. Замествам в [tex]а_{1 }* а_{1 }q = 10+ а_{1 } q^3[/tex].
Получавам квадратно уравнение: [tex]а^{2 } _{1 }-4 а_{1 } +5 = 0[/tex].
Намирам дискриминантата; тя излиза отрицателна!
D<0, уравнението няма решение.

Единствените алтернативи, които ни останаха, са стойностите, които получихме при [tex]q=2[/tex]:

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\begin{array}{|l} q=2\\ а_{1 }=5 \end{array}[/tex] и [tex]\begin{array}{|l} q=2 \\ а_{1 } =-1 \end{array}[/tex]

Сега намираме числата [tex]а_{1 }[/tex], [tex]а_{1 }q[/tex], [tex]а_{1 } q^{2 }[/tex], [tex]а_{1 } q^{3 }[/tex].

От първата система имаме следната геометрична прогресия: 5, 10, 20, 40.
От втората система имаме следната геометрична прогресия: -1, -2, -4, -8.


Решения: 5, 10, 20, 40 ИЛИ -1, -2, -4, -8.

Надявам се да съм бил полезен

[Гост]

Здравей те бихте ли ми помогнали за тези задачи
1.За геометричната прогресия определете дали е растяща,намаляваща или немонотонна. Напишете първите и три члена
A)a1 = 2 и q = 3 ;
Б)a1 = 2 и q = -3 ;
В)a1 = -2 и q =3 .
2.Намерете седмия член на геометричната прогресия,за която:
А)a6 = 5 и a8 = 10, a7 > 0 ;
Б)a8 = 10 и а9 = 5 ;
В)а6 = 2 и a8 = 10, a7 < 0 ;
ПРИКАЧЕНИ ФАЙЛОВЕ

[Гост]

Здравей те бихте ли ми помогнали за тези задачи
1.За геометричната прогресия определете дали е растяща,намаляваща или немонотонна. Напишете първите и три члена
A)a1 = 2 и q = 3 ;
Б)a1 = 2 и q = -3 ;
В)a1 = -2 и q =3 .
2.Намерете седмия член на геометричната прогресия,за която:
А)a6 = 5 и a8 = 10, a7 > 0 ;
Б)a8 = 10 и а9 = 5 ;
В)а6 = 2 и a8 = 10, a7 < 0 ;
ПРИКАЧЕНИ ФАЙЛОВЕ