две задачи с прогресии

[Гост]

1,Три числа образуват аритметична прогресия. Ако увеличим първото число с 8 и не променяме второто и третото число, ще получим геометрична прогресия със сбор на членовете 26. Намерете първоначалните числа
2,Дадена е аритметична прогресия с разлика различна от 0.Втори ,първи и трети член образуват геометрична прогресия .Намерете частното q

[Евва]

1 зад. аритм. прогресия a-d ;a ;a+d
геом. прогресия a+8-d ;a ;a+d ,при която [tex]S_{3 }[/tex]=26
Първоначалната аритм. прогресия е ?

[tex]S_{3 }[/tex]=26
(a+8-d) +a +(a+d) =26
3a=18
a=6 (1)
Геометричната прогресия има следното свойство [tex]а_{к } ^{2 }[/tex]= [tex]а_{к-1 } . а_{к+1 }[/tex] .
Ще използваме случая [tex]а_{2 } ^{2 }[/tex]=[tex]а_{1 } а_{3 }[/tex] .
В нашата зад. това равенство придобива вида :
[tex]a^{2 }[/tex]=(a+8-d)(a+d) (виж (1))
36=(14-d)(6+d)
[tex]d^{2 }[/tex]-8d-48 =0 ;k= [tex]\frac{-8}{2}[/tex]= -4 ;D=[tex]( -4)^{2 }[/tex]-1(-48) =16+48 =64 =[tex]8^{2 }[/tex]

[tex]d_{1 ,2}= \frac{4 \pm8 }{1}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]d_{1 }[/tex]=12 , или [tex]d_{2 }[/tex]= -4 (2)

От (1) и (2) следва ,че първоначалната аритм. прогресия е -6 ;6 ;18 ,или 10 ;6 ;2

[Евва]

2 зад. аритм. прогресия a-d ;a ;a+d
геом. прогресия a ;a-d ;a+d с частно q=[tex]\frac{ a_{2 } }{ a_{1 } } = \frac{a-d}{a}[/tex]= 1-[tex]\frac{d}{a}[/tex]
q=1 -[tex]\frac{d}{a}[/tex]= ?

Скрит текст: покажи

Използваме същото св-во на геометричната прогресия както и в 1 зад. [tex]а_{2} ^{2 }[/tex]=[tex]а_{1 } а_{3 }[/tex]

[tex](a-d)^{2 }[/tex]= a(a+d)
[tex]a^{2 }-2ad+ d^{2 }= a^{2 }+ad[/tex]
[tex]d^{2 }[/tex]=3ad |:d[tex]\ne[/tex]0
d=3a
Да не забравяме ,че търсим [tex]\frac{d}{a}[/tex] =?
d=3a [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{d}{a}[/tex]=3
Тогава q= 1- [tex]\frac{d}{a}[/tex]=1 -3 ; q = -2
Проверка аритм. прогресия -2а ;а ;4а ( с разлика =3а)
геом. прогресия а ;-2а ;4а ( с часно = -2)
-2 е верен отговор