Безкрайно намаляваща геометрична прогресия

[Гост]

Сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия е 10⅔, а сумата на първия и втория й член е 8. Намерете прогресията.

[ammornil]

Сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия е 10⅔, а сумата на първия и втория й член е 8. Намерете прогресията.

[tex]a_{2}=a_{1}\cdot{}q \rightarrow a_{1}+a_{1}\cdot{}q=8 \Rightarrow a_{1}=\frac{8}{1+q} \\ S_{\infty}=\frac{a_{1}}{1-q} \Leftrightarrow \frac{32}{3}=\frac{8}{1+q}\cdot{}\frac{1}{1-q} \Leftrightarrow 32\cdot{}(1^{2}-q^{2})=3\cdot{8} \Leftrightarrow \\ \quad \Leftrightarrow 1-q^{2}=\frac{24}{32} \Leftrightarrow q^{2}=1-\frac{3}{4} \Leftrightarrow q^{2}=\frac{1}{4} \Leftrightarrow q= \pm\frac{1}{2} \\[/tex] Понеже е казано намаляваща прогресия [tex]\Rightarrow q=\frac{1}{2} \\ a_{1}=\frac{8}{1+q}=\frac{8}{\frac{3}{2}}=\frac{2\cdot{8}}{3}=5\frac{1}{3}[/tex]$$ \boxed{ \quad a_{1}=5\frac{1}{3}, \quad q=\frac{1}{2} \quad }$$