Безкрайно намаляваща геометрична прогресия

[Гост]

Сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия е равна на 2, а сумата от квадратите на членовете ѝ е равна на 4/3. Частното на първоначална прогресия е равно на:

[ammornil]

Сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия е равна на 2, а сумата от квадратите на членовете ѝ е равна на 4/3. Частното на първоначална прогресия е равно на:

$\ddot{\underset{\ddot{}}{-}}a_{1}, \hspace{0.5em} a_{1}q, \hspace{0.5em} a_{1}q^{2}, \cdots; \quad \text{Д}q: \hspace{0.5em} 0<q<1 \\ \ddot{\underset{\ddot{}}{-}}a_{1}^{2}, \hspace{0.5em} a_{1}^{2}q^{2}, \hspace{0.5em} a_{1}^{2}q^{4}, \cdots \\[12pt]$ $$\begin{array}{|l} \dfrac{a_{1}}{1-q}= 2 \\[12pt] \dfrac{a_{1}^{2}}{1-q^{2}}=\dfrac{4}{3} \end{array}$$ $\\[12pt]$

Скрит текст: покажи

$\dfrac{a_{1}}{1-q}= 2 \Leftrightarrow a_{1}=2(1-q)= 2 -2q\\[12pt] \dfrac{a_{1}^{2}}{1-q^{2}}=\dfrac{4}{3} \Rightarrow \dfrac{(2-2q)^{2}}{1-q^{2}} =\dfrac{4}{3} \Leftrightarrow 3(4 -8q+4q^{2})=4(1-q^{2}) \Leftrightarrow \\[6pt] \Leftrightarrow 12 -24q +12q^{2}= 4 -4q^{2} \Leftrightarrow 16q^{2} -24q +8= 0 |\div{8} \quad \Leftrightarrow 2q^{2} -3q +1=0 \\[6pt] \Rightarrow q_{1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot{2}\cdot{1}}}{2\cdot{2}}= \dfrac{3\pm{1}}{4} \Rightarrow \begin{cases} q_{1}= \dfrac{1}{2} \in{\text{Д}q} \\[12pt] q_{2}= 1 \notin{\text{Д}q} \end{cases}$

$$ q=\dfrac{1}{2} $$