Аритметична и геометрична прогресия

[matematika]

Не мога да се справя с тези 3 задачи :S

Задача 1 :
Сумата от 3 числа, които образуват растяща геометрична прогресия е 65. Ако от най-малкото извадим 1, а от най-голямото - 19, то новополучените числа образуват аритметична прогресия. Кои са първоначалните числа?

Задача 2 :
Да се намери сумата от първите 25 члена на аритметична прогресия, за която a3+a8+a10+a16+a23=114

Задача 3 :
Две тела се намирали на 153 метра едно от друго. Едновременно започнали да се движат едно срещу друго. Първото всяка секунда изминавало по 10 метра, а второто първата секунда изминавало 3 метра, но после всяка следваща секунда изминавало по 5 метра повече, отколкото в предходната. След колко секунди телата се срещнали?

[martin123456]

1
нека числата са [tex]a, aq, aq^2[/tex]. по условие програсията е растяща, значи [tex]a\le aq\le aq^2[/tex]
имаме [tex]a+aq+aq^2=65 \Rightarrow a(1+q+q^2)=65 \Rightarrow a>0[/tex], понеже [tex]1+q+q^2[/tex] има отрицателна дискриминанта и положителен старши коефициент
[tex]a-1,aq,aq^2-19[/tex] е аритметична програсия
[tex]\Rightarrow a-1+aq^2-19=2aq \Rightarrow a+aq^2=2aq+20[/tex]. събираме с [tex]aq \Rightarrow 65=3aq+20 \Rightarrow aq=15[/tex].
значи [tex]a+aq^2=50 \Rightarrow a+aq.q=50 \Rightarrow a+15q=50 \Rightarrow a=50-15q[/tex]. заместваме в [tex]aq=15 \Rightarrow (50-15q)q=15 \Rightarrow 50q-15q^2=15 \Rightarrow 15q^2-50q+15=0[/tex] [tex]D=50^2-4.15^2=50^2-30^2=80.20=40^2 \Rightarrow q_{1,2}=\frac{50 \pm 40}{30}=\frac{5 \pm 4}{3}[/tex]. [tex]\Rightarrow q_1=\frac{1}{3}[/tex],[tex]q_2=3[/tex]. като вземем предвид че прогресията расте [tex]q=3 \Rightarrow a=5 \Rightarrow 5,15,45[/tex]

[martin123456]

[tex]a_1=a, a_2=a+d, a_3=a+2d, \ldots, a_n=a+(n-1)d \Rightarrow S_n=na+d(1+2+\cdots n-1)=na+d\frac{(n-1)n}{2}[/tex]
по условие
[tex]a+2d+a+7d+a+9d+a+15d+a+22d=5a+55d=5(a+11d)=114[/tex]
ние търсим [tex]S_{25}=25a+d.12.25=25(a+12d)[/tex]
така че нещо май липсва

[martin123456]

след [tex]s[/tex] секунди
1вото тяло ще е изминало [tex]10s[/tex] метра
второто изминава както следва: 3 метра, 3+5, 3+5.2,..., 3+5(s-1) метра
т.е. общо ще измине [tex]3s+(1+2+\cdots +(s-1))=3s+\frac{(s-1)s}{2}[/tex]
общо изминават [tex]10s+3s+\frac{(s-1)s}{2}=153[/tex]
[tex]Rightarrow 13s+\frac{s^2-s}{2}=153 \Rightarrow s^2+25s-306=0[/tex], [tex]s_{1,2}=\frac{-25 \pm 43}{2} \Rightarrow s =\frac{-25+43}{2}=9[/tex]

[matematika]

И аз на последната задача получавам 9, но в сборника пише че отговора е 6

[martin123456]

след [tex]s[/tex] секунди
1вото тяло ще е изминало [tex]10s[/tex] метра
второто изминава както следва: 3 метра, 3+5, 3+5.2,..., 3+5(s-1) метра
т.е. общо ще измине [tex]3s+5.(1+2+\cdots +(s-1))=3s+5.\frac{(s-1)s}{2}[/tex]
общо изминават [tex]10s+3s+\frac{5(s-1)s}{2}=153[/tex]
[tex]\Rightarrow 13s+\frac{5s^2-5s}{2}=153 \Rightarrow 5s^2+21s-306=0[/tex], [tex]s_{1,2}=\frac{-21 \pm 81}{10} \Rightarrow s =6[/tex]