Система ГП

[frankfurt]

a2+a5-a4=10
a3+a6-a5=20

Това трябва да е система ама не успях да сложа черта

[b1ck0]

изрази всяко едно [tex]a_{i}[/tex] чрез [tex]a_{1}[/tex] и [tex]q[/tex] и ще получиш система с 2 уравнения и 2 неизвесни ...

[ptj]

a=1; q=2

[frankfurt]

Да но аз не получавам отговора

[ptj]

[tex]a_2+a_5-a_4=10[/tex]
[tex]a_3+a_6-a_5=20[/tex]

Делим почленно 2-рото на първото:
[tex]\frac{aq^2+aq^5-aq^4}{aq+aq^4-aq^3 } =\frac{20}{10 }[/tex]

[tex]\frac{q+q^4-q^3}{1+q^3-q^2 } =2[/tex]

[tex]q^4-3q^3+2q^2+q-2 =0[/tex]

[tex](q-2)(q^3-q^2+1) =0[/tex]

Реални корени са :
[tex]q_1=2[/tex]
[tex]q_2 = \frac{1}{3 } \bigg( 1-\sqrt[3]{\frac{2}{25-3\sqrt{69} }} -\sqrt[3]{\frac{25-3\sqrt{69} }{2 } } \bigg ) \approx -0.754878[/tex] (не е решение, защото [tex]q>0[/tex] по определение).

Заместваме с [tex]q=2[/tex] в кое да е от уравненията на оригиналната задача и намираме [tex]a=1[/tex].

П.П. Корените на [tex]q^3-q^2+1=0[/tex] може да се изследват и с формулите на Виет.

[ptj]

Предното решение е трудно осъществимо с материал за 8-ми клас, затова може да използваме нещо друго:

Нека [tex]a_4=x[/tex] , [tex]a_5=y[/tex]

[tex]a_3a_5=a_4^2[/tex] => [tex]a_3=\frac{x^2}{y }[/tex]

[tex]a_4a_6=a_5^2[/tex] => [tex]a_6=\frac{y^2}{x }[/tex]
[tex]q=\frac{a_5}{a_4 }=\frac{y}{x }[/tex]
[tex]a_2=\frac{a_3}{q } =\frac{\frac{x^2}{y }}{\frac{y}{x } }=\frac{x^3}{y^2 }[/tex]

Тогава:
[tex]\frac{x^3}{y^2 }+y-x=10[/tex]

(*)[tex]\frac{x^2}{y }+\frac{y^2}{x }-y=20[/tex]

Еквивалентно е на:
[tex]\frac{x^3-x y^2+y^3}{y^2}=10[/tex]


[tex]\frac{x^3-x y^2+y^3}{x y}=20[/tex]

Разделяме почленно 2-рото на 1-вото и получаваме [tex]\frac{y}{x }=2[/tex] (това е [tex]q[/tex] на прогресията).
Заместваме в (*) и получаваме:
[tex]\frac{y}{4 }+2y-y=20[/tex] <=> [tex]y=16[/tex],

[tex]16=y=a_5=aq^4=a.2^4[/tex] => [tex]a=1[/tex]