Аритметична и геометрична прогресия и екстремуми

[leon92x]

За една аритметична прогресия е дадено, че [tex]a_{5} + a_{6}[/tex] = [tex]k^{2} - k[/tex] и [tex]a_{2} - S_{4} - a_{5}[/tex] = -[tex]k^{2} + k - 2[/tex] .
Да се намери [tex]S_{10}[/tex] на геометрична прогресия, първият член на която е равен на първия член на аритметичната прогресия, а частното и е равно на локалния максимум на функцията y=f(x)=[tex]\frac{x}{ 1+x^{2}}[/tex]

[martin123456]

[tex]a_1=a,a_2=a+d,a_3=a+2d,a_4=a+3d,a_5=a+4d,a_6=a+5d, S_4=4a+6d[/tex]
Получаваме [tex]2a+9d=k^2-k[/tex] и [tex]a+d-4a-6d-a-4d=-4a-9d=-k^2+k-2[/tex]
събираме ги [tex]-2a=-2 \Rightarrow a= 1 \Rightarrow 9d=k^2-k-2[/tex]
сега за геометричната програсия, тя е [tex]1, q, q^2, q^3 ,\cdots[/tex]
търсим [tex]S_{10}=1+q+q^2+\cdots q^9=\frac{1-q^{10}}{1-q}[/tex]
да намерим [tex]q[/tex]
[tex]f(x)=\frac{x}{1+x^2}[/tex], [tex]f'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}[/tex]. производната се анулира в [tex]x=\pm 1[/tex]. положителна в [tex](-1,1)[/tex] значи лок мак в 1 със стойност [tex]f(1)=\frac{1}{2}[/tex], значи [tex]q=\frac{1}{2}[/tex]