2 доказателства

[mathinvalidnik]

1.Да се докаже,че за АП [tex]a_{1},a_{2},a_{3},.......a_{n-1},a_{n}[/tex] е в сила равенството :

[tex]\frac{1}{a_{1}.a_{2} }+\frac{1}{a_{2}.a_{3} }+..........\frac{1}{a_{n-1}.a_{n} }=\frac{n-1}{a_{1}.a_{n} }[/tex]

2.Да се пресметне сумата [tex]1.2^{0}+2.2^{1}+3.2^{2}+......+n.2^{n-1}[/tex]

втората вероятно е малко офтопик ама както и да е.

[martin123456]

1
[tex]a_{k+1}=a_k+d[/tex]=>[tex]\frac{1}{a_ka_{k+1}}=\frac{1}{d}(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}})[/tex]
значи сумата е [tex]\frac{1}{d}(\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_n})=\frac{1}{d}\frac{(n-1)d}{a_1a_n}[/tex]

[mathinvalidnik]

мхм...хубаво е като знаеш това свойство.втората също може да се реши по готин начин

[martin123456]

2
[tex]f(x)=1+x+x^2+\ldots+x^n[/tex]
[tex]f'(x)=1+2x+3x^2+\ldots+nx^{n-1}[/tex]
значи търсим [tex]f'(2)[/tex]
от друга странa [tex]f(x)=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{(n+1)x^n(x-1)-x^{n+1}+1}{(x-1)^2}[/tex]
[tex]f'(2)=(n+1)2^n-2^{n+1}+1[/tex]

[mkmarinov]

2)
[tex]1.2^0+2.2^1+...+n.2^{n-1}=(2^0+2^1+...+2^{n-1})+(2^1+2^2+...+2^{n-1})+(2^2+2^3+...+2^{n-1})+...+2^{n-1}=\\=\frac{2^n-1}{2-1}+2.\frac{2^{n-1}-1}{2-1}+2^2.\frac{2^{n-2}-1}{2-1}+...+2^{n-1}.\frac{2^{n-(n-1)}-1}{2-1}=2^n-1+2^n-2+2^n-4+...+2^n-2^{n-1}=\\=n.2^n-\sum_{i=0}^{n-1}2^{i}=n.2^n-2^{n}+1=(n-1)2^n+1[/tex]