Може ли някой да разпише преобразуването на прогресията?

[guvnor]

1- 1/(1+r)^n
___________ = 1/(1+r) + 1/(1+r)^2 + 1/(1+r)^3 + ... + 1/(1+r)^n

r


Както виждате става въпрос за крайна геометрична прогресия ( горе вдясно ).

Моля някой, който разбира материята, да разпише подробно как точно се преобразува дясната страна за да се достигне до лявата!

Надявам се че записът е разбираем, числителите в дясната страна са повдигнати на степени!

Благодаря

[Добромир Глухаров]

[tex]\frac{1}{1+r}+\frac{1}{(1+r)^2}+\cdots+\frac{1}{(1+r)^n}=\frac{1}{1+r}\cdot\[1+\frac{1}{1+r}+\frac{1}{(1+r)^2}+\cdots+\frac{1}{(1+r)^{n-1}}\]=[/tex]

[tex]=\frac{1}{1+r}\cdot\frac{1-\(\frac{1}{1+r}\)^n}{1-\frac{1}{1+r}}=\frac{1}{1+r}\cdot\frac{1-\(\frac{1}{1+r}\)^n}{\frac{1+r-1}{1+r}}=\frac{1}{\cancel{1+r}}\cdot\frac{1-\(\frac{1}{1+r}\)^n}{\frac{r}{\cancel{1+r}}}=\frac{1-\frac{1}{(1+r)^n}}{r}[/tex]

Използва се, че:

[tex]1+q+q^2+q^3+\cdots+q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}[/tex],

като в нашия случай [tex]q=\frac{1}{1+r}[/tex].

[guvnor]

Благодаря !