Да се намери сумата S1+S2+S3+....+S2009

[dextur33]

Частното q на една геометрична прогресия е решение на уравнението q2010(stepen) - 2010q + 2009=0 . Ако първият член е 1 да се намери сумата S1+S2+S3+....+S2009, където е Sn сумата на първите n члена на тази редица.

[martin123456]

[tex]S_1=1[/tex]
[tex]S_2=1+q[/tex]
[tex]S_3=1+q+q^2[/tex]
..........................................
[tex]S_{2009}=1+q+q^2+\cdots + q^{2008}[/tex]
[tex]\Rightarrow \sigma=2009+2008q+\cdots + 2q^{2007}+q^{2008}[/tex].
[tex](q-1)\sigma =q^{2009}+q^{2008}+\cdots + q - 2009[/tex].
[tex](q-1)^2\sigma = q^{2010}-2010q+2009[/tex].

[tex]\Rightarrow (q-1)^2\sigma = 0[/tex].
Ако [tex]q=1 \Rightarrow \sigma=1+2+\cdots + 2009=\frac{2009.2010}{2}[/tex].
Aко [tex]q \ne 1\Rightarrow \sigma=0[/tex].

Да разгледаме [tex]g(q)=q^{2010}-2010q+2009[/tex]. Имаме [tex]g'(q)=2010q^{2009}-2010=2010(q^{2009}-1)[/tex]. [tex]g'(q)=0 \Leftrightarrow q=1[/tex], [tex]q>1 \Rightarrow g \uparrow[/tex], [tex]q<1 \Rightarrow g \downarrow[/tex].
Значи няма други корени освен [tex]q=1[/tex]. Значи 1вият случай.