Неприятна задачка за доказване...

[dextur33]

Здравейте !
Попаднах на една наистина неприятна задача за доказване . Ще съм ви много благодарна, ако упеете да ми помогнете..
Ето я и задачата : Да се докаже , че при геометрична прогресия с първи член единица сумата S1+S2+S3+....+Sn е равна на нула тогава и само тогава, когато цялото число n>=2 и частното q на прогресията са свързани с равенството q^{n+1} - (n+1)q +n=0 (Sk е сумата от първите k члена на прогресията ).

*** q^{n+1} означава q на степен n+1.

[0xdeadbeef]

[tex]S = S_1 + S_2 + \dots + S_n = \frac{1-q}{1-q} + \frac{1-q^2}{1-q} + \dots + \frac{1-q^n}{1-q}= \frac{1 + 1 + \dots + 1 - (q + q^2 + \dots + q^n)}{1-q} =[/tex]

[tex]= \frac{n - \frac{q - q^{n+1}}{1-q}}{1-q} = \frac{n(1-q) - q + q^{n+1}}{(1-q)^2} = \frac{q^{n+1} - (n+1)q + n}{(1-q)^2}[/tex].

Или [tex]q^{n+1} - (n+1)q + n = 0 \Leftrightarrow S=0[/tex]. Като навсякъде [tex]q \not = 1[/tex].