Да се намери сумата от първите n члена на редицата.

[SorSy]

Здравейте !
Надявам се да успеете да ми помогнете затрудних се на тези 2 задачи :
1зад. Първите 3 члена на една числова редица са 1, 7, 19. Да се напишат следващите 3 члена на редицата, ако е известно, че общият й член аn е квадратна функция на n. Да се намери сумата от първите n члена на редицата.
2зад. Сумата от първите k члена на аритметична прогресия ,съставена от различни числа , е половината от сумата на следващите k члена .Да се намери частното от сумата на пържите 3k члена и сумата на първите k члена .
Благодаря,

[Knowledge Greedy]

Да напишем тази квадратна функция на [tex]n[/tex].
Тя трябва да изглежда така [tex]a_n=an^2+bn+c[/tex]
При [tex]n=1[/tex] по условие [tex]a_1=a+b+c=1[/tex]
При [tex]n=2[/tex] по условие [tex]a_2=4a+2b+c=7[/tex]
При [tex]n=3[/tex] по условие [tex]a_3=9a+3b+c=19[/tex]

Решаваме получената система: [tex]a=3, \,\ b=-3, \,\ c=1[/tex]
и тя ни дава [tex]a_n=3n^2-3n+1[/tex]

За да намерим сумата [tex]\sum_{k=1}^{n }a_n[/tex] е достатъчно да знаем сумите [tex]\sum_{k=1}^{n }k[/tex] и [tex]\sum_{k=1}^{n }k^2[/tex]

Първата е [tex]\frac{n(n+1)}{2 }[/tex], а втората е [tex]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex].
Не бива да забравяме първата от горните суми да умножим по [tex](-3)[/tex] , втората по [tex]3[/tex] и към всичкото да добавим [tex]n[/tex] единици, защото всеки член на редицата съдържа и [tex]+1[/tex].


Във втората задача използваме стандартните формули.
Дадено е [tex]S_k=\frac{1}{2}\left ( S_{2k}-S_k \right )[/tex]

Това условие дава [tex]4a_1+(k-2)d=0[/tex]

Търсим [tex]\frac{S_{3k}}{ S_{k}}[/tex]
След преобразувания, намираме [tex]\frac{S_{3k}}{ S_{k}}=\frac{6a_1+3(3k-1)d}{2a_1+(3k-1)d }=\frac{17k-4}{k }[/tex]

[inveidar]

[nobody]

[tex]S_{k }[/tex] - сумата на първите k члена на прогресията
[tex]S_{2k }[/tex] - [tex]S_{k }[/tex] - сумата на вторите k члена на прогресията
[tex]S_{3k }[/tex] - [tex]S_{2k }[/tex] - сумата на третите k члена на прогресията

те образуват аритметична прогресия

=> 2[tex]S_{2k }[/tex] - 2[tex]S_{k }[/tex] = [tex]S_{3k }[/tex] - [tex]S_{2k }[/tex] + [tex]S_{k }[/tex]
[tex]S_{3k }[/tex] = 3[tex]S_{2k}[/tex] - 3[tex]S_{k }[/tex]

имаме също, че [tex]\frac{S_{2k }- S_{k }}{2}[/tex]= [tex]S_{k }[/tex] = > [tex]S_{2k }[/tex] = 3[tex]S_{k }[/tex]
=> [tex]S_{3k }[/tex] = 6[tex]S_{k }[/tex]
[tex]\frac{S_{3k }}{S_{k }}[/tex] = [tex]\frac{6S_{k }}{S_{k }}[/tex] = 6

[pal702004]

В първата задача - при намиране на сумата на първите $n$ члена. Aко забележиш, че $3k^2-3k+1=k^3-(k-1)^3$, получаваш отговора моментално.