Задача аритметична прогресия

[rafchy]

Кратко и точно условие.
Могат ли числата \sqrt{2} , 2 и \sqrt{3} да образуват аритметична прогресия

незнам защо не ми излизат корените числат аса корен от 2 , корен от 3 и числото 2

[inveidar]

Кратко и точно условие.
Могат ли числата [tex]\sqrt{2} , 2[/tex] и [tex]\sqrt{3}[/tex] да образуват аритметична прогресия

незнам защо не ми излизат корените числат аса корен от 2 , корен от 3 и числото 2

Задачата би трябвало да е със следното условие: Могат ли числата [tex]\sqrt{2} , 2[/tex] и [tex]\sqrt{3}[/tex] да са членове(не непременно последователни) на аритметична прогресия?
Отговорът е: не! Ако допуснем, че е възможно, то [tex]\sqrt{3}-\sqrt{2}=md,2-\sqrt{2}=nd[/tex], където m и n са цели числа, а d е разликата на прогресията. Тогава [tex]\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{ 2-\sqrt{2}} =\frac{m}{ n}[/tex] и умножавайки на кръст ще получим [tex]n\sqrt{3} =2m+(n-m)\sqrt{2}[/tex]. Сега повдигаме на квадрат и получаваме [tex]3n^{2}=4m^{2}+4m(n-m)\sqrt{2}+2(n-m)^{2}[/tex], откъдето [tex]\sqrt{2}=\frac{3n^{2}-4m^{2}-2(n-m)^{2}}{4m(n-m) }[/tex]. Последното е невъзможно, защото лявата страна на равенството е ирационално число, а дясната е рационално!