Домашна работа

[gab4eto_pz11]

[tex]34.)\ 6\sqrt[x]{9}-13\sqrt[x]{6}+6\sqrt[x]{4}=0[/tex]

Допустими стойности: [tex]x\in\mathbb{N}\setminus\{1\}[/tex] - хикс трябва да бъде цяло положително, различно от [tex]1[/tex].

[tex]6.9^{\frac{1}{x}}-13.2^{\frac{1}{x}}.3^{\frac{1}{x}}+6.4^{\frac{1}{x}}=0\|:4^{\frac{1}{x}}[/tex]

[tex]6.\(\frac{9}{4}\)^{\frac{1}{x}}-13.\(\frac{3}{2}\)^{\frac{1}{x}}+6=0[/tex]

[tex]\(\frac{3}{2}\)^{\frac{1}{x}}=t>0[/tex]

[tex]6t^2-13t+6=0[/tex]

[tex]D=169-4.36=169-144=13^2-12^2=(13+12)(13-12)=25=5^2[/tex]

[tex]t_1=\frac{13+5}{12}=\frac{3}{2}[/tex]

[tex]t_2=\frac{13-5}{12}=\frac{2}{3}[/tex]

[tex]\(\frac{3}{2}\)^{\frac{1}{x}}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{1}{x}=1\Rightarrow x=1[/tex] - не е допустима стойност.

[tex]\(\frac{3}{2}\)^{\frac{1}{x}}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{1}{x}=-1\Rightarrow x=-1[/tex] - не е допустима стойност.

[tex]\Rightarrow x\in\oslash[/tex]

защо в началото допустимите стойности са х да е цяло число не може ли да е дроб и да е различно от 1 (може би защото няма такъв корен?)

[gab4eto_pz11]

а на 32 задача в началото определям допустими стойности х на втора + 2 да ми е по-голямо или равно на 0 оттам дм ми е всяко х, после при повдигането на квадрат защо няма и равно на 0 а само по-голямо, нали подкоренната величина трябва да е по-голяма или равна на нула, тоест това вдясно (в нашия случай 2-х) трябва също да е по-голямо или равно, аз винаги така съм го записвала

[gab4eto_pz11]

а 38 не може ли също чрез полагане

По принцип може, но се получава уравнение от трета степен спрямо [tex]t=\(\frac{3}{2}\)^x[/tex]: [tex]t^3+t=2[/tex].

И сега трябва да съобразим, че един от корените е [tex]t=1[/tex] и че [tex]t^3+t-2=(t-1)(t^2+t+2)[/tex], като тук дискриминантата на [tex]t^2+t+2[/tex] е [tex]D=1^2-4.2=-7<0[/tex], следователно няма други реални корени, освен [tex]t=1[/tex].

дискриминантата е отрицателна това значи че тричленът е неразложим, а не че няма корени

[monika_at]

Мило момиче, когато един полином е неразложим над полето на реалните числа, значи няма реални корени.

[gab4eto_pz11]

[tex]32.)\ 4^{x+\sqrt{x^2+2}}-5.2^{x-1+\sqrt{x^2+2}}=6[/tex]

[tex]2^{x-1+\sqrt{x^2+2}}=t>0[/tex]

[tex]4t^2-5t-6=0[/tex]

[tex]D=25+4.4.6=121=11^2[/tex]

[tex]t_1=\frac{5+11}{8}=2[/tex]

[tex]t_2=\frac{5-11}{8}<0[/tex]

[tex]2^{x-1+\sqrt{x^2+2}}=t_1=2=2^1[/tex]

[tex]x-1+\sqrt{x^2+2}=1[/tex]

[tex]\sqrt{x^2+2}=2-x>0[/tex]

[tex]x^2+2=(2-x)^2=4-4x+x^2[/tex]

[tex]4x=2\Rightarrow x=\frac{1}{2}[/tex]

Проверка: [tex]2-\frac{1}{2}>0[/tex]

в началото давам допустими стойности х на втора + 2 да ми е по-голямо или равно на 0, тоест х на втора е по-голямо от -2 ДМ: всяко х; после при повдигането на втора степен защо 2-х е само >0 а не и равно, аз винаги съм го писала така, това вдясно да е по-голямо или равно на нула

[gab4eto_pz11]

може ли на 11 задача от неравенствата да ми кажете отговора? получавам същия, но вместо 1/2 аз получавам -1/2; а 9 задача дискриминантата ми е по-малка от 0

[Добромир Глухаров]

[tex]\sqrt{x^2+2}\ge\sqrt{2}\Rightarrow 2-x\ge\sqrt{2}\Rightarrow x\le 2-\sqrt{2}[/tex]

[tex]\frac{1}{2}<2-\sqrt{2}\Rightarrow[/tex] е решение.

[gab4eto_pz11]

[tex]\sqrt{x^2+2}\ge\sqrt{2}\Rightarrow 2-x\ge\sqrt{2}\Rightarrow x\le 2-\sqrt{2}[/tex]

[tex]\frac{1}{2}<2-\sqrt{2}\Rightarrow[/tex] е решение.

нищо не разбрах, това откъде се взе корен от 2; аз питах дали трябва да запиша 2-х по-голямо равно на 0 или само по-голямо

[Добромир Глухаров]

Квадратът на кое да е реално число е неотрицателен: [tex]x^2\ge 0[/tex]. Следователно имаме: [tex]x^2+2\ge 2\Rightarrow \sqrt{x^2+2}\ge\sqrt{2}[/tex]

А иначе, ако имаме [tex]\sqrt{f(x)}=g(x)[/tex] и [tex]f(x)[/tex] може да приеме стойност [tex]0[/tex] за някое [tex]x[/tex], трябва като повдигнем на квадрат, да пишем и [tex]g(x)\ge 0[/tex]. В нашия случай обаче [tex]f(x)[/tex] не може да приеме стойност [tex]0[/tex] и дори не може да приеме стойност, по-малка от [tex]2[/tex]. Следователно трябва да осигурим [tex]g(x)\ge\sqrt{2}[/tex].

[gab4eto_pz11]

Квадратът на кое да е реално число е неотрицателен: [tex]x^2\ge 0[/tex]. Следователно имаме: [tex]x^2+2\ge 2\Rightarrow \sqrt{x^2+2}\ge\sqrt{2}[/tex]

няма да го разбера, никъде в задача няма коренът от х на втора + 2 да е по-голям или равен на 2, кажете ми само дали трябва да запиша 2-х по-голямо равно на 0 или само по-голямо втория път на ДМ

[gab4eto_pz11]

задачите с неравенствата до 32 само, ако може, останалите не мисля да ги решавам, вече съм на 12, като имам проблем с 9 и 11

[Добромир Глухаров]

Квадратът на кое да е реално число е неотрицателен: [tex]x^2\ge 0[/tex]. Следователно имаме: [tex]x^2+2\ge 2\Rightarrow \sqrt{x^2+2}\ge\sqrt{2}[/tex]

няма да го разбера, никъде в задача няма коренът от х на втора + 2 да е по-голям или равен на 2, кажете ми само дали трябва да запиша 2-х по-голямо равно на 0 или само по-голямо втория път на ДМ

Стандартно се пише "по-голямо или равно".

[gab4eto_pz11]

благодаря, но защо вие сте писали само >; а и аз направих проверка: ако х=2 не е възможно защото подкоренната величина в нашия случай винаги е по-голяма от нула, нищо че сме дали и равно, затова питах кое е правилното да се пише, защото ние допускаме но то щеше да излезе при проверка че няма решение, ако х беше 2

[Добромир Глухаров]

благодаря, но защо вие сте писали само >

Ами защото забелязах, че [tex]2-x[/tex], или все едно [tex]\sqrt{x^2+2}[/tex] не може да стане [tex]0[/tex].

[gab4eto_pz11]

значи може и така да го запиша, стига да обърна внимание, а после проверката задължителна ли е, в смисъл дали ще включа двойката в ДМ и после ако х се беше получил 2 щях да открия чрез проверката че не е решение, или ако пиша само по-малко тоест не я включа и ако получех х да е 2 щях направо да пиша че не принадлежи на ДМ следователно не е решение?

[Добромир Глухаров]

благодаря, но защо вие сте писали само >; а и аз направих проверка: ако х=2 не е възможно защото подкоренната величина в нашия случай винаги е по-голяма от нула, нищо че сме дали и равно, затова питах кое е правилното да се пише, защото ние допускаме но то щеше да излезе при проверка че няма решение, ако х беше 2

В крайна сметка можем да не се мъчим да поставяме допълнителни условия във вид на неравенства, но тогава всеки получен корен трябва да заместим в първоначалното уравнение и да видим дали го удовлетворява.

[gab4eto_pz11]

благодаря, но защо вие сте писали само >; а и аз направих проверка: ако х=2 не е възможно защото подкоренната величина в нашия случай винаги е по-голяма от нула, нищо че сме дали и равно, затова питах кое е правилното да се пише, защото ние допускаме но то щеше да излезе при проверка че няма решение, ако х беше 2

В крайна сметка можем да не се мъчим да поставяме допълнителни условия във вид на неравенства, но тогава всеки получен корен трябва да заместим в първоначалното уравнение и да видим дали го удовлетворява.

чак в първоначалното ли? не може ли там където повдигнах на квадрат? по-кратко е

[Добромир Глухаров]

Тогава в уравнението отпреди повдигането в квадрат.

[gab4eto_pz11]

да за там имах в предвид: корен от х на втора + 2 = 2-х; може ли сега 9, 11 (отгоре мисля, че е 3х) и нататък неравенствата до 32, без 12

[Добромир Глухаров]

На 11.) и аз получавам минус една втора.

[gab4eto_pz11]

по принцип, когато имаме да решаваме неравенство, знаменателят не се маха, когато приведем под общ знаменател, но ако имаме израз върху например числото 27 и това цялото да е по-малко от 0, можем ли да умножим и двете страни по 27 и да премахнем знаменателя?

[gab4eto_pz11]

На 11.) и аз получавам минус една втора.

благодаря

[Добромир Глухаров]

по принцип, когато имаме да решаваме неравенство, знаменателят не се маха, когато приведем под общ знаменател, но ако имаме израз върху например числото 27 и това цялото да е по-малко от 0, можем ли да умножим и двете страни по 27 и да премахнем знаменателя?

Ако имаме строго неравенство и дясната страна е нула, можем да умножим по квадрата на знаменателя (пишем го като множител, нямаме вече нищо под дробната черта), без да променяме знака на неравенството:

[tex]\frac{f(x)}{g(x)}<0\Leftrightarrow f(x)g(x)<0[/tex]

Ако в знаменателя нямаме х, можем да не го пишем.

[gab4eto_pz11]

по принцип, когато имаме да решаваме неравенство, знаменателят не се маха, когато приведем под общ знаменател, но ако имаме израз върху например числото 27 и това цялото да е по-малко от 0, можем ли да умножим и двете страни по 27 и да премахнем знаменателя?

Ако имаме строго неравенство и дясната страна е нула, можем да умножим по квадрата на знаменателя (пишем го като множител, нямаме вече нищо под дробната черта), без да променяме знака на неравенството:

[tex]\frac{f(x)}{g(x)}<0\Leftrightarrow f(x)g(x)<0[/tex]

Ако в знаменателя нямаме х, можем да не го пишем.

тоест? как така по квадрата, може ли с пример?

[Добромир Глухаров]

[tex]\frac{x-1}{x-2}>0\|.(x-2)^2[/tex]

[tex]\frac{(x-1)(x-2)^{\cancel{2}}}{\cancel{x-2}}>0[/tex]

[tex](x-1)(x-2)>0[/tex]

[tex](x-2)^2\ge0\Rightarrow[/tex] като умножим по него, знакът на неравенството не се променя. Дори няма как [tex]2[/tex] да го получим като част от решението (понеже неравенството е строго), така че няма защо да се безпокоим, че е в знаменател. Ако неравенството е нестрого, накрая изключваме нулите на знаменателя от решението. Например:

[tex]\frac{x-1}{x-2}\ge 0\|.(x-2)^2[/tex]

[tex]\frac{(x-1)(x-2)^{\cancel{2}}}{\cancel{x-2}}\ge 0[/tex]

[tex](x-1)(x-2)\ge 0[/tex]

[tex]x\in(-\infty;1]\cup[2;+\infty)[/tex], но [tex]x\neq 2\Rightarrow x\in(-\infty;1]\cup(2;+\infty)[/tex]