Намерете решенията на логаритмичното неравенството

[andromaha_7]

Намерете решенията на неравенството.doc

Намерете решенията на неравенството

(30.5 KiB) 190 пъти

[attachment=0]

[someone]

Определяме ДО(дефиниционна област): [tex]2^{x} - 1 > 0 \cap 2^{x+1} - 2 > 0 \Leftrightarrow 2^x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 0[/tex]
Преобразуваме неравенството:
[tex]log_{2}{(2^x-1)} . log_{2^{-1}}{[2(2^x-1)]} > -2[/tex]
[tex]-log_{2}{(2^x-1)} . log_{2}{[2(2^x-1)]} > -2[/tex]
[tex]log_{2}{(2^x-1)}[log_{2}{2} + log_{2}{(2^x-1)}] < 2[/tex]
[tex]log_{2}{(2^x-1)}[1 + log_{2}{(2^x-1)}] < 2[/tex]
Полагаме [tex]y = log_{2}{(2^x-1)}[/tex] и получаваме:
[tex]y(1+y) < 2 \Leftrightarrow y^2+y-2 < 0 \Leftrightarrow y\in (-2; 1)[/tex]
т.е. [tex]-2 < log_{2}{(2^x - 1)} < 1 \Leftrightarrow 2^{-2} < 2^x - 1 < 2^1 \Leftrightarrow \frac{5}{4} < 2^x < 3 \Leftrightarrow x\in(log_{2} {\frac{5}{4}}; log_{2}{3})[/tex]
Решението на неравенството е сечение на получения интервал с ДО, но в случая той се съдържа изцяло в нея, т.е. отговорът е [tex]\fbox{x\in(log_{2} {\frac{5}{4}}; log_{2}{3})}[/tex].