ТУ - задача с логаритъм

[lamptz]

Броят на целите числа, принадлежащи на отвореният интервал [tex]( log_{5}32^{-1} ; (log_{6}24)^{2} )[/tex] ? ..

[s.karakoleva]

В интервала [tex](-2.1534; 3.146)[/tex] има 6 цели числа.

[lamptz]

добре ама как пресметна логаритмите с точност, имам предвид без да използваш изчислителна техника може ли да се получат нещата ..

[inveidar]

[tex]log_{6}24<log_{6}36=2\Rightarrow (log_{6}24)^{2}<2^{2}=4[/tex].

Ще докажем, че [tex](log_{6}24)^{2}>3[/tex]. За тази цел първо ще докажем, че [tex]log_{6}24>1,75[/tex]

От [tex]log_{6}24=1+log_{6}4[/tex] виждаме, че е достатъчно да докажем, че [tex]log_{6}4>0,75=\frac{3}{ 4}[/tex],

т.е [tex]4>6^{\frac{3}{4 }}\Leftrightarrow4^{4}>6^{3}[/tex], което е очевидно(256>216).

Сега вече [tex](log_{6}24)^{2}>1,75^{2}=3,0625[/tex].

От неравенствата [tex]log_{5}\frac{1}{125 }<log_{5}\frac{1}{32 } <log_{5}\frac{1}{25 }[/tex] пък следва

[tex]-3<log_{5}\frac{1}{32 }<-2[/tex].

От всичките тези писания следва, че целите числа в посочения интервал са -2, -1, 0, 1, 2, 3.

[grav]

Не е нужно да ги пресмяташ. Достатъчно е да съобразиш между кои цели числа се намира. Например от [tex]\log_5(32)>\log_5(25)=2[/tex] следва [tex]\log_5(32^{-1})=-\log_5(32)<-\log_5(25)=-2[/tex]. По подобен начин е по-голямо от -3.