Логаритмични уравнения и неравенства

[strangers]

[tex]log_{0,3}(x^{2} - 8x + 16) > 0[/tex]
lg(4x + 10) - lg(x + 3) = 2lg4 - lg8
[tex]log_{2}(x^{2} - x +2) \le 0[/tex]
lgx + lg(3 - x) = lg8 + lg(2x + 5)

[mail_dinko]

[tex]log_{0,3}(x^{2} - 8x + 16) > 0[/tex]
[tex]log_{0,3}(x^{2} - 8x + 16)>log_{0,3}1[/tex]
[tex]x^2-8x+16-1<0[/tex]
[tex]x^2-8x+15<0[/tex]
[tex]D=16-15=1[/tex]
[tex]x_1=3[/tex]
[tex]x_2=5[/tex]
[tex]log-DM:x^2-8x+16>0[/tex]
[tex](x-4)^2>0--->x\ne 4[/tex]
Решение--->[tex]x\in (3;4) \cup (4;5)[/tex]

[mail_dinko]

[tex]lg(4x + 10) - lg(x + 3) = 2lg4 - lg8[/tex]
[tex]lg \frac{4x+10}{x+3}=lg \frac{4^2}{8}[/tex]
[tex]\frac{2(2x+5)}{x+3}=2|:2[/tex]
[tex]\frac{2x+5}{x+3}=1|.(x+3)[/tex]
[tex]2x+5-x-3=0[/tex]
[tex]x=-2 \in DM[/tex]
[tex]DM:4+10x>0--->2x+5>0--->x>-\frac52[/tex]
[tex]DM: x+3>0--->x>-3[/tex]

[tex]log_{2}(x^{2} - x +2) \le 0[/tex]
[tex]log_2 (x^2-x+2) \le log_2 1[/tex]
[tex]x^2-x+1 \le 0[/tex]
Отрицателна дискриминанта - положително за всяко х, няма как да е равно на нула или по-малко
Няма решение. ДМ на лог не коментирам

[Гост]

[tex]\log_{2}(x^{2} - x +2) \le 0[/tex]
ДМ [tex]x^2-x+2>0,\hspace{2mm}D_{x^2-x+2}=1-8<0\Rightarrow x^2-x+2>0 \forall x[/tex]
Неравенството е еквивалентно на [tex]x^2-x+2\le 1\Leftrightarrow x^2-x-1\le 0, \hspace{2mm}D_{x^2-x-1}=1+4=5\Rightarrow x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\Rightarrow x\in [\frac{1-\sqrt{5}}{2},\frac{1+\sqrt{5}}{2}][/tex]


[tex]\lg{x} + \lg{(3 - x)} = \lg8 + \lg{(2x + 5)}[/tex]
ДМ [tex]x>0\cup x<3 \cup x>-\frac{5}{2}\Rightarrow x\in (0,3)[/tex]
Уравнението е еквивалентно на [tex]\lg{(x(3-x))}=\ln{8(2x+5)}\Leftrightarrow x(3-x)=8(2x+5)\Leftrightarrow 3x-x^2=16x+40\Leftrightarrow x^2+13x+40=0, \hspace{2mm}D_{x^2+13x+40}=169-160=9[/tex][tex]\Rightarrow x_1=\frac{-13-3}{2}=-8\not \in (0,2),\hspace{2mm}x_2=\frac{-13+3}{2}=-5\not \in (0,3)[/tex]. Няма решения.