логаритмично неравенство

[hristina19]

Моля помогнете: ln(1+x^2)<x^2

[ammornil]

[tex]ln(1+x^2)<x^2 \\
\vspace{5} \\
\hspace{64} \underline{\cyr{DM}} \\
\hspace{64} 1+x^2 >0 \Rightarrow \forall x \in R \\
\vspace{5} \\
e^{^{ln(1+x^2)}}<e^{^{x^2}} \\
1+x^2<e^{^{x^{2}}} \\
x^2-e^{^{x^2}}<-1[/tex]

мисля, че това е решението. не знам дали може да се реши по-нататък.

[ganka simeonova]

Не знам, колко е редно, но бих подходила с производна. Да разгледаме функцията:

[tex]f(x)=ln(1+x^2)-x^2; x\in (-\infty ; +\infty )[/tex]

[tex]f'(x)=\frac{1}{ 1+x^2}.2x-2x=-\frac{2x^3}{1+x^2 }[/tex]
[tex]x\in (-\infty ;0)=>f'(x)>0; x\in (0;+\infty )=>f'(x)<0=>x_{max}=0=>y_{max}=0=>[/tex]

[tex]f(x)\le 0=>ln(1+x^2)-x^2\le 0=>ln(1+x^2)\le x^2[/tex] Тогава строгото неравенство ще е изпълнено за всяко [tex]x\ne 0[/tex]