Логаритмични неравенства

[Nuki]

20032013475.jpg (132 KiB) Прегледано 2800 пъти

20032013476.jpg (117.91 KiB) Прегледано 2800 пъти

244 и 241

[Anubis]

[tex]\frac{1}{2} + \log_{25}x - \log_{5}7x>\log_{\frac{1}{5}}(x+5)[/tex]

Допустимото множество е [tex]x \in (0; \, +\infty)[/tex].

[tex]\log_{5}\sqrt{5}+\log_{5}\sqrt{x}-\log_{5}7x>\log_{5}\frac{1}{x+5} \Rightarrow \log_{5}\frac{\sqrt{5x}}{7x}>\log_{5}\frac{1}{x+5}[/tex]

Понеже основата е по-голяма от едно, посоката на неравенството се запазва.

[tex]\frac{\sqrt{5x}}{7x}>\frac{1}{x+5} \Rightarrow \sqrt{5x}(x+5)>7x \Rightarrow 5x(x+5)^2>(7x)^2[/tex]

Понеже [tex]x \in (0; \, +\infty)[/tex], разделяш на него и остава да решиш неравенството [tex]5(x+5)^2>49x[/tex].

[Anubis]

[tex]\log_{5} \log_{6} \frac{6x-1}{x+1}<\log_{\frac{1}{5}}\log_{\frac{1}{6}}\frac{x+1}{6x-1}[/tex]

Допустимото ти множество се определя от следните неравенства:

[tex]\frac{6x-1}{x+1}>0; \quad \log_{6}\frac{6x-1}{x+1}>0; \quad \log_{\frac{1}{6}}\frac{x+1}{6x-1}>0 \Rightarrow \fbox{x \in \left ( -\infty; \, -1 \right ) \cup \left ( \frac{2}{5}; \, +\infty \right )}[/tex].

Връщаме се в неравенството.

[tex]\log_{5}\log_{6}\frac{6x-1}{x+1}<\log_{5^{-1}}\log_{6^{-1}}\frac{x+1}{6x-1} \Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow \log_{5}\log_{6}\frac{6x-1}{x+1}<-\log_{5}\log_{6}\frac{6x-1}{x+1} \Rightarrow[/tex]

[tex]\Rightarrow \log_{5}\log_{6}\frac{6x-1}{x+1}<\log_{5} \left ( \log_{6}\frac{6x-1}{x+1} \right )^{-1}[/tex]

Оттук [tex]\log_{6}\frac{6x-1}{x+1}<\frac{1}{\log_{6}\frac{6x-1}{x+1}}[/tex]. Това е все едно да решаваш [tex]u<\frac{1}{u}[/tex] за [tex]u>0[/tex], т. е.

[tex]u^2-1<0, \quad u>0 \Rightarrow u \in (0; \, 1) \Rightarrow \log_{6}\frac{6x-1}{x+1} \in (0; \, 1) \Rightarrow x \in \left (\frac{2}{5}; \, +\infty \right )[/tex] (пресечено с допустимото множество).

[Nuki]

Благодаря ти много Анубис, много ми помагаш.

[jimbo]

Здравейте,

как точно решавате уравнението

[tex]\log_6 \left(\frac{6x-1}{x+1}\right)=1,[/tex]

за да получите горната граница на интервала. Според мен уравнение няма решение, защото след освобождаване от логаритъма се получава

[tex]\frac{6x-1}{x+1}=6[/tex]

Поздрави

[S.B.]

Зад.242: [tex]log_{2 }[/tex]x + [tex]log_{\sqrt{2} }[/tex]x + [tex]log_{\frac{1}{2} }[/tex]x < 12
Д.М.: х > 0
[tex]log_{2 }[/tex]x + [tex]log_{\sqrt{2} }[/tex]x + [tex]log_{\frac{1}{2} }[/tex]x < 12 [tex]\Leftrightarrow[/tex][tex]log_{2 }[/tex]x + [tex]log_{2^{\frac{1}{2}} }[/tex]x + [tex]log_{2^{-1} }[/tex]x < 12 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]log_{2 }[/tex]x + [tex]\frac{log_{2 }x}{log_{2 }2^{\frac{1}{2}}}[/tex] + [tex]\frac{log_{2 }x}{log_{2 }2^{-1}}[/tex] < 12
[tex]log_{2 }[/tex]x + 2[tex]log_{2 }[/tex]x - [tex]log_{2 }[/tex]x < 12 [tex]\Leftrightarrow[/tex] 2[tex]log_{2 }[/tex]x < 12
[tex]log_{2 }[/tex][tex]x^{2}[/tex] > [tex]log_{2 }[/tex][tex]2^{12}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]x^{2}[/tex] > [tex]2^{12}[/tex] или [tex]x^{2}[/tex] > [tex](2^{6})^{2}[/tex] от където х > [tex]2^{6}[/tex] и окончателно х[tex]\in[/tex](64 , +[tex]\infty[/tex])

[S.B.]

Зад.245:[tex]\frac{1}{5 - lgx}[/tex] + [tex]\frac{2}{1 + lgx}[/tex] < 1 Д.М. х >0;
Нека lgx = t , t[tex]\ne[/tex] - 1 и t[tex]\ne[/tex] 5
[tex]\frac{1}{5 - t}[/tex] + [tex]\frac{2}{1 + t}[/tex] < 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{5 - t}[/tex] + [tex]\frac{2}{1 + t}[/tex] - 1 < 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{1 + t + 2(5 - t) - (5 - t)(1 + t)}{(5 - t)(1 + t)}[/tex] < 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{t^{2} - 5t + 6}{(5 - t)(1 + t)}[/tex] <0
[tex]\frac{(t - 2)(t - 3)}{(5 - t)(1 + t)}[/tex] < 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] (t - 2)(t - 3)(5 - t)(1 + t) < 0 от къдeто t[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex],-1)[tex]\cup[/tex](2,3)[tex]\cup[/tex](5 , +[tex]\infty[/tex])
или lgx < - 1 [tex]\Rightarrow[/tex] x < [tex]10^{-1}[/tex] ; lgx[tex]\in[/tex](2 , 3 ) [tex]\Rightarrow[/tex] lgx>2 и lgx<3 от където х>[tex]10^{2}[/tex] и х < [tex]10^{3}[/tex] ; lgx[tex]\in[/tex](5 , +[tex]\infty[/tex]) [tex]\Rightarrow[/tex] x > [tex]10^{5}[/tex]
Окончателно: х [tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex],[tex]10^{-1}[/tex])[tex]\cup[/tex]([tex]10^{2}[/tex],[tex]10^{3}[/tex])[tex]\cup[/tex]([tex]10^{5}[/tex],+[tex]\infty[/tex])

[jimbo]

[tex]\frac{\lg11-\lg(-x^2-12x)}{\lg(x+5)}>0[/tex]

Допустимите стойности се дават от системата
[tex]\begin{cases} x+5 > 0 \\ -x^2-12x > 0 \end{cases}
\Rightarrow x\in(-5,0)[/tex]

След елементарни преобразования следва
[tex]\frac{\lg\left (\frac{-x^2-12x}{11}\right)}{\lg(x+5)}<0[/tex]

По метода на рационализацията, и отчитайки допустимите стойности, следва, че числителят е отрицателен за
[tex]x\in(-5,-1)[/tex]
и положителен
[tex]x\in(-1,0)[/tex]

Знаменателя е положителен ( отчитайки допустимите стойности) за интервала
[tex]x\in(-4,0)[/tex]
и отрицателен за
[tex]x\in(-5,-4)[/tex]
За да бъде дробта отрицателна, трябва числителя и знаменателя да имат различни знаци
или решението се получава като се пресичат
[tex]x\in(-5,-1)\cap(-5,-4)[/tex]
и обединят със сечението
[tex]x\in(-4,0)\cap (-1,0)[/tex]
Крайният резултат е
[tex]x\in(-5,-4)\cup(-1,0)[/tex]

Метод на рационализацията
[tex]\log_a(x)-log_a(y)>0 \Leftrightarrow (a-1)(x-y)>0[/tex]

[S.B.]

Зад.245:[tex]\frac{1}{5 - lgx}[/tex] + [tex]\frac{2}{1 + lgx}[/tex] < 1 Д.М. х >0;
Нека lgx = t , t[tex]\ne[/tex] - 1 и t[tex]\ne[/tex] 5
[tex]\frac{1}{5 - t}[/tex] + [tex]\frac{2}{1 + t}[/tex] < 1 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{1}{5 - t}[/tex] + [tex]\frac{2}{1 + t}[/tex] - 1 < 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{1 + t + 2(5 - t) - (5 - t)(1 + t)}{(5 - t)(1 + t)}[/tex] < 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{t^{2} - 5t + 6}{(5 - t)(1 + t)}[/tex] <0
[tex]\frac{(t - 2)(t - 3)}{(5 - t)(1 + t)}[/tex] < 0 [tex]\Leftrightarrow[/tex] (t - 2)(t - 3)(5 - t)(1 + t) < 0 от къдeто t[tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex],-1)[tex]\cup[/tex](2,3)[tex]\cup[/tex](5 , +[tex]\infty[/tex])
или lgx < - 1 [tex]\Rightarrow[/tex] x < [tex]10^{-1}[/tex] ; lgx[tex]\in[/tex](2 , 3 ) [tex]\Rightarrow[/tex] lgx>2 и lgx<3 от където х>[tex]10^{2}[/tex] и х < [tex]10^{3}[/tex] ; lgx[tex]\in[/tex](5 , +[tex]\infty[/tex]) [tex]\Rightarrow[/tex] x > [tex]10^{5}[/tex]
Окончателно: х [tex]\in[/tex](-[tex]\infty[/tex],[tex]10^{-1}[/tex])[tex]\cup[/tex]([tex]10^{2}[/tex],[tex]10^{3}[/tex])[tex]\cup[/tex]([tex]10^{5}[/tex],+[tex]\infty[/tex])

Дължа извинение за окончателния отговор:От Д.М. х>0 [tex]\Rightarrow[/tex] х [tex]\in[/tex](0,[tex]10^{-1}[/tex])[tex]\cup[/tex]([tex]10^{2}[/tex],[tex]10^{3}[/tex])[tex]\cup[/tex]([tex]10^{5}[/tex],+[tex]\infty[/tex])

[jimbo]

[tex]\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{3x-1}{2x+3}\right)}>1[/tex]
Допустимите стойности се задават от
[tex]\frac{3x-1}{2x+3}>0[/tex]
с решение
[tex]x\in (-\infty,-\frac{3}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)[/tex]
Основното уравнение може да се преобразува към следното
[tex]\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{3x-1}{2x+3}\right)}>\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{\frac{1}{2}}\left(1\right)},[/tex]

използвайки елементарни свойства на логаритма. После 2 пъти прилагаме метода на рационализацията, като вземаме в предвид, че основата логаритъма [tex]\frac{1}{5}<1[/tex] и на степента [tex]\frac{1}{2}<1[/tex]. Което означава, че ако аргумента расте, функцията намалява. Това се отчита от метода на рационализацията с отрицателен множител.

[tex]\left(\frac{1}{5}-1\right)\left(\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{3x-1}{2x+3}\right) -\log_{\frac{1}{2}}\left(1\right)\right)>0[/tex]

Или

[tex]\left(\frac{1}{5}-1\right)\left(\frac{1}{2}-1\right)\left(\frac{3x-1}{2x+3} -1\right)>0[/tex]

Последното неравенство се решава елементарно. Като се отчете областта на допустимтие стойности
[tex]x\in (-\infty,-\frac{3}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty),[/tex]
решението е
[tex]x\in (-\infty,-\frac{3}{2})\cup(4,+\infty),[/tex]