Логаритми с различни основи

[darkstep]

[tex]log_{3} (x+2) > log_{2} (18-2x)[/tex]. Потърсих из темите тук и на други места, но не намерих нещо, което да може да ми помогне. Опитах да направя някаква връзка между 2та логаритъма, но не ми се получи. Според мен трябва да се изравнят основите за да се правят каквито и да е действия. Имам допустими стойности от -2 до 9 и това е. Трябва ми помощ.

[лимилит]

log3(x+2)>log2(18−2x) Първо можеш да сведеш до обща основа а именно [tex]\rightarrow[/tex] lg(x+2)/lg3 > lg(18-x)/lg2 след това мисля че тук се антилогаритмува и се получава (x+2)/3 > (18-x)/2 нататък си ти.

[monika_at]

log3(x+2)>log2(18−2x) Първо можеш да сведеш до обща основа а именно [tex]\rightarrow[/tex] lg(x+2)/lg3 > lg(18-x)/lg2 след това мисля че тук се антилогаритмува и се получава (x+2)/3 > (18-x)/2 нататък си ти.

Не е вярно.

[ptj]

Лявата функция е растяща, а дясната намаляваща. Тогава ако намериш за кое [tex]x_0[/tex] са равни, то [tex]\forall x>x_0|x\in D[/tex] ( [tex]D[/tex] - дефиниционното множество) ще е изпълнено исканото неравенство.

[tex]x_0\cong 2.1934[/tex]

[Knowledge Greedy]

[tex]log_{3}(x+2)>log_{2}(18−2x)[/tex]

Разглеждаме функциите [tex]f(x)=log_{3}(x+2)[/tex] и [tex]g(x)=log_{2}(18−2x)[/tex].
Явно [tex]f(7)=g(7)=2[/tex].
Както предложи ptj , двете функции са непрекъснати; [tex]f(x)[/tex] е растяща, а [tex]g(x)[/tex] е намаляваща в общото им дефиниционно множество - интервала [tex](-2; \,\ 9)[/tex].
Ето защо [tex]\forall x, \,\ 7 \le x <9 \Rightarrow g(x) < g(7)=f(7) < f(x)[/tex]

И тогава решението на задачата е [tex]\forall x, \,\ x \in (7; \,\ 9)[/tex]

[ptj]

Както винаги съм преписал грешно задачата (разменил съм основите)...