Помощ с едно логаритмично уравнение...

[b_math]

Здравейте!
По условие трябва да намеря всички корени на това уравнение, но нещо не мога да го докарам докрай това уравнение и съм получил засега само 2 като отговор и то по малко странен начин... Ако може някой да помогне, ще съм му много благодарен

[Добромир Глухаров]

[tex]\frac{log_2\(\frac{2}{x}\)}{log_2(2x)}.log_2^2x+log_2^4x=1[/tex]

Д.С.: [tex]x>0;x\ne\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\frac{1-log_2x}{1+log_2x}.log_2^2x+log_2^4x=1[/tex]

[tex](1-log_2x)(log_2x)^2+(log_2x)^4(1+log_2x)=1+log_2x[/tex]

Полагаме [tex]log_2x=t\ \mbox{t\ne-1}[/tex]

[tex](1-t)t^2+t^4(1+t)=1+t[/tex]

[tex]t^2-t^3+t^4+t^5-1-t=0[/tex]

[tex]t^5+t^4-t^3+t^2-t-1=0[/tex]

Виждаме, че един корен е [tex]t=1[/tex], понеже сборът от коефициентите пред различните степени на [tex]t[/tex] (вкл. свободния член) е равен на нула.

По правилото на Хорнер делим [tex]t^5+t^4-t^3+t^2-t-1[/tex] на [tex]t-1[/tex]:

Код: Избери целия код

    1  1 -1  1 -1 -1
 1  1  2  1  2  1  0

[tex]\Rightarrow\ t_1=1[/tex]

Остава да намерим корените на [tex]t^4+2t^3+t^2+2t+1=0[/tex]

Понеже полиномът вляво е симетричен, ни "хрумва" да положим [tex]u=t+\frac{1}{t}[/tex], като предварително разделяме на [tex]t^2\ne 0[/tex]:

[tex]t^2+2t+1+\frac{2}{t}+\frac{1}{t^2}=0[/tex]

[tex]t^2+2+\frac{1}{t^2}+2t+\frac{2}{t}-1=0[/tex]

[tex]t^2+2t\frac{1}{t}+\frac{1}{t^2}+2\(t+\frac{1}{t}\)-1=0[/tex]

[tex]\(t+\frac{1}{t}\)^2+2\(t+\frac{1}{t}\)-1=0[/tex]

[tex]u^2+2u-1=0[/tex]

[tex]D_1=1^2-1.(-1)=2[/tex]

[tex]u_{1,2}=-1\pm\sqrt{2}[/tex]

[tex]\Rightarrow\ t+\frac{1}{t}=-1\pm\sqrt{2}[/tex]

[tex]t^2+\(1\pm\sqrt{2}\)t+1=0[/tex]

[tex]1.)\ t^2+\(1+\sqrt{2}\)t+1=0[/tex]

[tex]D=1+2+2\sqrt{2}-4=2\sqrt{2}-1[/tex]

[tex]t_{2,3}=\frac{-1-\sqrt{2}\pm\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}[/tex]

[tex]2.)\ t^2+\(1-\sqrt{2}\)t+1=0[/tex]

[tex]D=1+2-2\sqrt{2}-4=-1-2\sqrt{2}[/tex]

[tex]t_{4,5}=\frac{-1+\sqrt{2}\pm\sqrt{-1-2\sqrt{2}}}{2}[/tex]

[tex]t_{1,2,3,4,5}\ne-1\ \Rightarrow[/tex] ги заместваме последователно в [tex]log_2x=t[/tex]:

[tex]x_1=2^{t_1}=2[/tex]

[tex]x_2=2^{t_2}=2^{\frac{-1-\sqrt{2}+\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}}[/tex]

[tex]x_3=2^{t_3}=2^{\frac{-1-\sqrt{2}-\sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}}[/tex]

[tex]x_4=2^{t_4}=2^{\frac{-1+\sqrt{2}+\sqrt{-1-2\sqrt{2}}}{2}}[/tex]

[tex]x_5=2^{t_5}=2^{\frac{-1+\sqrt{2}-\sqrt{-1-2\sqrt{2}}}{2}}[/tex]

[someone]

[tex]t_4[/tex] и [tex]t_5[/tex] трябва да отпаднат (респективно и [tex]x_4[/tex] и [tex]x_5[/tex]). Дискриминантата е отрицателна!

[Добромир Глухаров]

[tex]t_4[/tex] и [tex]t_5[/tex] трябва да отпаднат (респективно и [tex]x_4[/tex] и [tex]x_5[/tex]). Дискриминантата е отрицателна!

Прав сте, съжалявам!

[b_math]

Страшно много благодаря!