Логаритмична задача 1-x -x^2 = a.log

[abc]

Да се намерят стойностите на параметъра a, при които за всяко положително число b уравнението:
log с основа 2 от 1-x -x^2 = a.log (с основа 1- x- x^2 от 2 ) +b има корени в интервала (0; 1/2)

[Добромир Глухаров]

[tex]log_2(1-x-x^2)=\frac{a}{log_2(1-x-x^2)}+b;\ b>0;\ x\in\(0;\frac{1}{2}\)[/tex]

[tex]1-x-x^2=-\(\frac{1}{2}+x\)^2+1\frac{1}{4}\in\(\frac{1}{4};1\)[/tex]

[tex]t=log_2(1-x-x^2)\in(-2;0)[/tex]

[tex]f(t)=t^2-bt-a=0[/tex]

[tex]\forall b>0\Rightarrow t\in(-2;0)[/tex]

[tex]\|\begin{array}{l}D=b^2+4a>0\\f(-2)>0\\f(0)>0\end{array}\Leftrightarrow\|\begin{array}{l}b^2+4a>0\\4+2b-a>0\\-a>0\end{array}\Leftrightarrow\|\begin{array}{l}a>-\frac{b^2}{4}\\a<4+2b\\a<0\end{array}[/tex]

Да предположим, че [tex]b>0[/tex] е произволно близо до нулата. Тогава [tex]-\frac{b^2}{4}<a<0[/tex], т.е. [tex]a[/tex] трябва да е още по-близо. На практика не можем да намерим такова [tex]a[/tex] за произволно [tex]b>0[/tex].

Според мен отговорът трябва да бъде: няма такова [tex]a[/tex].

[pal702004]

Практически решена задача с грешен извод.
[tex]\\f(t)=t^2-bt-a, t\in (-2;0), b>0\\
f(-2)=4+2b-a\\
f(0)=-a[/tex]
Следояателно при [tex]a \in (0,4), f(-2)>0,f(0)<0[/tex] и съществува корен в интервала.

[Добромир Глухаров]

Да се намерят стойностите на параметъра a, при които за всяко положително число b уравнението:
log с основа 2 от 1-x -x^2 = a.log (с основа 1- x- x^2 от 2 ) +b има корени в интервала (0; 1/2)

Аз разбирам, че трябва да има два корена в посочения интервал.

[pal702004]

Не, поне един корен. Иначе щеше да е "всички корени" да са в интервала.
В допълнение може да се каже, че при [tex]a\le 0[/tex] и двата корена ще са неотрицателни по Виет (ако са реални), а при [tex]a\ge 4[/tex], при [tex]b=0[/tex] няма да има корени в интервала.

[monika_at]

Добромире, "има корени" означава да има поне един.