Задача с логаритми

[abc]

Да се намерят всички стойности на параметъра a, за всяка от които неравенстото:
4 на степен (x+1) + 9. 4 на степен (-x) -2( 2 на степен (x+1) +3. 2 на степен (-х) ) ≥а , е изпълнено за всяко х≥0

[Добромир Глухаров]

[tex]4^{x+1}+9.4^{-x}-2.(2^{x+1}+3.2^{-x})\ge a[/tex]

[tex]t=2^x\ge 1[/tex]

[tex]4.t^2+9.t^{-2}-2\(2t+\frac{3}{t}\)\ge a[/tex]

[tex]\(2t+\frac{3}{t}\)^2-2.2t.\frac{3}{t}-2\(2t+\frac{3}{t}\)\ge a[/tex]

[tex]\(2t+\frac{3}{t}\)^2-12-2\(2t+\frac{3}{t}\)\ge a[/tex]

[tex]u=2t+\frac{3}{t}\ge 2\sqrt{2t.\frac{3}{t}}=2\sqrt{6}[/tex]

[tex]u^2-12-2u=(u-1)^2-13\ge (2\sqrt{6}-1)^2-13=12-4\sqrt{6}\ge a\ \forall a\le12-4\sqrt{6}[/tex]