Домашна работа

[gab4eto_pz11]

2014-01-30 13.41.15.jpg (1.73 MiB) Прегледано 1547 пъти

2014-01-30 13.41.21.jpg (1.93 MiB) Прегледано 1547 пъти

тези 38 задачи са ми за домашна работа за вторник решила съм някои от тях, ако можете да ми помогнете, както казвам дори и не с целите решения а само началото на задачите, на когото за която задача му хрумне нещо моля да сподели и нека са отзад напред ако може

[Добромир Глухаров]

[tex]38.)\ 3^{3x}+12^x=2^{3x+1}[/tex]

[tex]3^{3x}+2^{2x}.3^x=2.2^{3x}\|:2^{3x}[/tex]

[tex]\(\frac{3}{2}\)^{3x}+\(\frac{3}{2}\)^x=2[/tex]

За [tex]x<0\Rightarrow \(\frac{3}{2}\)^{3x}<1;\(\frac{3}{2}\)^x<1\Rightarrow \(\frac{3}{2}\)^{3x}+\(\frac{3}{2}\)^x<2[/tex]

За [tex]x>0\Rightarrow \(\frac{3}{2}\)^{3x}>1;\(\frac{3}{2}\)^x>1\Rightarrow \(\frac{3}{2}\)^{3x}+\(\frac{3}{2}\)^x>2[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] единственото решение е [tex]x=0[/tex]

[gab4eto_pz11]

много ще съм ви благодарна, защото вие тук обяснявате самите задачи, а аз имам нужда точно от това; а за 38 задача защо се прави това със знаците по-голямо и по-малко и как става така че x=0

[Добромир Глухаров]

[tex]37.)\ 3.4^{2x}+37.36^x=26.9^{2x}[/tex]

[tex]3.4^{2x}+37.4^x.9^x-26.9^{2x}=0\|:9^{2x}[/tex]

[tex]3.\(\frac{4}{9}\)^{2x}+37.\(\frac{4}{9}\)^x-26=0[/tex]

[tex]\(\frac{4}{9}\)^x=t>0[/tex]

[tex]3t^2+37t-26=0[/tex]

[tex]D=37^2+4.3.26=1369+312=1681=41^2[/tex]

[tex]t_{1,2}=\frac{-37\pm 41}{2.3}[/tex]

[tex]t_1=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}[/tex]

[tex]t_2=\frac{-78}{6}<0\Rightarrow[/tex] не е решение

[tex]\(\frac{4}{9}\)^x=\frac{2}{3}=\sqrt{\frac{4}{9}}=\(\frac{4}{9}\)^{\frac{1}{2}}[/tex]

[tex]\Rightarrow x=\frac{1}{2}[/tex]

[gab4eto_pz11]

а 38 не може ли също чрез полагане

[Добромир Глухаров]

[tex]38.)[/tex]

Показваме, че за [tex]x<0[/tex] лявата страна е по-малка от 2, понеже всяка от степените, чиято сума е вляво, е по-малка от 1.

Аналогично, за [tex]x>0[/tex], лявата страна е по-голяма от 2. Следователно единствено за [tex]x=0[/tex] лявата страна става равна на дясната.

[tex]\(\frac{3}{2}\)^{3x}[/tex] и [tex]\(\frac{3}{2}\)^x[/tex] са степени с основа, по-голяма от 1, следователно за [tex]x<0[/tex] приемат стойности, по-малки от 1, а за [tex]x>0[/tex] - стойности, по-големи от 1.

Ако основата беше по-малка от 1 (но задължително положителна), за [tex]x<0[/tex] степените щяха да бъдат по-големи от 1, а за [tex]x>0[/tex] - по-малки от 1.

[Добромир Глухаров]

а 38 не може ли също чрез полагане

По принцип може, но се получава уравнение от трета степен спрямо [tex]t=\(\frac{3}{2}\)^x[/tex]: [tex]t^3+t=2[/tex].

И сега трябва да съобразим, че един от корените е [tex]t=1[/tex] и че [tex]t^3+t-2=(t-1)(t^2+t+2)[/tex], като тук дискриминантата на [tex]t^2+t+2[/tex] е [tex]D=1^2-4.2=-7<0[/tex], следователно няма други реални корени, освен [tex]t=1[/tex].

[gab4eto_pz11]

аз почнах със хорнер и тъй като положеното число трябва да е по-голямо от 0 имам избор между 1 и 2, но ми остана само 1 след като си поиграх с таблицата

[Добромир Глухаров]

аз почнах със хорнер и тъй като положеното число трябва да е по-голямо от 0 имам избор между 1 и 2, но ми остана само 1 след като си поиграх с таблицата

Само дето за t можеше да се получат още две ирационални числа (при положителна дискриминанта, различна от точен квадрат), които нямаше как да бъдат намерени чрез Хорнер.

[gab4eto_pz11]

това последното не го схванах, но нали имам избор само между 1, -1, 2 и -2 в полученото уравнение от 3 степен отрицателните числа отпадат понеже положеното трябва да е по-голямо от 0, и пробвах с 1 и 2 и само 1 ми се получава, като заместя едно после с 3/2 на нулева и става x=0

[Добромир Глухаров]

това последното не го схванах, но нали имам избор само между 1, -1, 2 и -2 в полученото уравнение от 3 степен отрицателните числа отпадат понеже положеното трябва да е по-голямо от 0, и пробвах с 1 и 2 и само 1 ми се получава, като заместя едно после с 3/2 на нулева и става x=0

Уравнение от трета степен може да има не само цели корени. Например [tex]t^3-2t+1=0\Leftrightarrow (t-1)(t^2+t-1)=0[/tex]

[tex]t_1=1[/tex]

[tex]D=1^2-4.(-1)=5[/tex]

[tex]t_{2,3}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]

[gab4eto_pz11]

а това са неравенства

[Добромир Глухаров]

[tex]45.)\ log_2(3^{2x}-2.3^x+3)[/tex]

Допустими стойности:
[tex]3^{2x}-2.3^x+3>0[/tex]

[tex]3^x=t>0[/tex]

[tex]t^2-2t+3>0[/tex]

[tex]D_1=(-1)^2-3=-2<0[/tex]

Коефициентът пред [tex]t^2[/tex] е положителен, дискриминантата отрицателна, следователно графиката на [tex]f(t)=t^2-2t+3[/tex] е изцяло над абсцисната ос. Или иначе казано, понеже уравнението [tex]t^2-2t+3=0[/tex] няма реални корени (лявата страна не става равна на нула за никое [tex]t[/tex]), а коефициентът пред [tex]t^2[/tex] е положителен, то лявата страна [tex]t^2-2t+3[/tex] е положителна за всяко [tex]t[/tex]. Съответно [tex]3^{2x}-2.3^x+3>0[/tex] за всяко [tex]x[/tex]. Решението се записва [tex]x\in\mathbb{R}[/tex]. Хикс принадлежи на множеството на реалните числа.

[Добромир Глухаров]

[tex]42.)\ \frac{\sqrt{x+8}}{log_{0,3}\(x^2+\frac{3}{2}x\)}[/tex]

[tex]D.C.[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}x+8\ge0\\log_{0,3}\(x^2+\frac{3}{2}x\)\neq 0\end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l}x+8\ge0\\x^2+\frac{3}{2}x>0\\x^2+\frac{3}{2}x\neq 1\end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l}x\in[-8;+\infty)\\x(2x+3)>0\\2x^2+3x-2\neq 0\end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l}x\in[-8;+\infty)\\x\in\(-\infty;-\frac{3}{2}\)\cup(0;+\infty)\\x\neq \frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2}\\x\neq \frac{-3-5}{4}=-2\end{array}[/tex]

[tex]x\in[-8;-2)\cup\(-2;-\frac{3}{2}\)\cup\(0;\frac{1}{2}\)\cup\(\frac{1}{2};+\infty\)[/tex]

[gab4eto_pz11]

от показателните уравнения съм решила засега от 1 до 18 + 25 и 29, така че без тях, както казах, аз ги започнах отначалото, а поисках помощ за тези отзад напред

[Добромир Глухаров]

[tex]36.)\ 4.2^{2x}-6^x=18.3^{2x}[/tex]

[tex]4.2^{2x}-2^x.3^x-18.3^{2x}=0\|:3^{2x}[/tex]

[tex]4.\(\frac{2}{3}\)^{2x}-\(\frac{2}{3}\)^x-18=0[/tex]

[tex]\(\frac{2}{3}\)^x=t>0[/tex]

[tex]4t^2-t-18=0[/tex]

[tex]D=(-1)^2-4.4.(-18)=1+16.18=1+(17-1)(17+1)=1+17^2-1^2=17^2[/tex]

[tex]t_1=...=\frac{9}{4}[/tex]

[tex]t_2=\frac{1-17}{8}<0[/tex]

[tex]\(\frac{2}{3}\)^x=\frac{9}{4}=\(\frac{3}{2}\)^2=\(\frac{2}{3}\)^{-2}[/tex]

[tex]x=-2[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]35.)\ 4^x+5^{2x+1}=6.10^x[/tex]

[tex]2^{2x}-6.2^x.5^x+5.5^{2x}=0\|:5^{2x}[/tex]

[tex]\(\frac{2}{5}\)^{2x}-6\(\frac{2}{5}\)^x+5=0[/tex]

[tex]\(\frac{2}{5}\)^x=t>0[/tex]

[tex]t^2-6t+5=0[/tex]

[tex](t-1)(t-5)=0[/tex]

[tex]t_1=1;\ t_2=5[/tex]

[tex]\(\frac{2}{5}\)^x=1\Rightarrow x_1=0[/tex]

[tex]\(\frac{2}{5}\)^x=5\Rightarrow x_2=log_{\frac{2}{5}}5[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]34.)\ 6\sqrt[x]{9}-13\sqrt[x]{6}+6\sqrt[x]{4}=0[/tex]

Допустими стойности: [tex]x\in\mathbb{N}\setminus\{1\}[/tex] - хикс трябва да бъде цяло положително, различно от [tex]1[/tex].

[tex]6.9^{\frac{1}{x}}-13.2^{\frac{1}{x}}.3^{\frac{1}{x}}+6.4^{\frac{1}{x}}=0\|:4^{\frac{1}{x}}[/tex]

[tex]6.\(\frac{9}{4}\)^{\frac{1}{x}}-13.\(\frac{3}{2}\)^{\frac{1}{x}}+6=0[/tex]

[tex]\(\frac{3}{2}\)^{\frac{1}{x}}=t>0[/tex]

[tex]6t^2-13t+6=0[/tex]

[tex]D=169-4.36=169-144=13^2-12^2=(13+12)(13-12)=25=5^2[/tex]

[tex]t_1=\frac{13+5}{12}=\frac{3}{2}[/tex]

[tex]t_2=\frac{13-5}{12}=\frac{2}{3}[/tex]

[tex]\(\frac{3}{2}\)^{\frac{1}{x}}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{1}{x}=1\Rightarrow x=1[/tex] - не е допустима стойност.

[tex]\(\frac{3}{2}\)^{\frac{1}{x}}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{1}{x}=-1\Rightarrow x=-1[/tex] - не е допустима стойност.

[tex]\Rightarrow x\in\oslash[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]33.)\ 6.18^x-13.12^x+6.8^x=0[/tex]

[tex]6.2^x.3^{2x}-13.2^{2x}.3^x+6.2^{3x}=0\|:2^{3x}[/tex]

[tex]6.2^{x-3x}.3^{2x}-13.2^{2x-3x}.3^x+6=0[/tex]

[tex]6\(\frac{3}{2}\)^{2x}-13\(\frac{3}{2}\)^x+6=0[/tex]

[tex].\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .\ .[/tex]

[tex]\(\frac{3}{2}\)^x=\frac{3}{2}\Rightarrow x_1=1[/tex]

[tex]\(\frac{3}{2}\)^x=\frac{2}{3}\Rightarrow x_2=-1[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]32.)\ 4^{x+\sqrt{x^2+2}}-5.2^{x-1+\sqrt{x^2+2}}=6[/tex]

[tex]2^{x-1+\sqrt{x^2+2}}=t>0[/tex]

[tex]4t^2-5t-6=0[/tex]

[tex]D=25+4.4.6=121=11^2[/tex]

[tex]t_1=\frac{5+11}{8}=2[/tex]

[tex]t_2=\frac{5-11}{8}<0[/tex]

[tex]2^{x-1+\sqrt{x^2+2}}=t_1=2=2^1[/tex]

[tex]x-1+\sqrt{x^2+2}=1[/tex]

[tex]\sqrt{x^2+2}=2-x>0[/tex]

[tex]x^2+2=(2-x)^2=4-4x+x^2[/tex]

[tex]4x=2\Rightarrow x=\frac{1}{2}[/tex]

Проверка: [tex]2-\frac{1}{2}>0[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]31.)\ \(\sqrt[5]{3}\)^x+\(\sqrt[10]{3}\)^{x-10}=84[/tex]

[tex]3^{\frac{x}{5}}+3^{\frac{x-10}{10}}=84[/tex]

[tex]\(3^{\frac{x}{10}}\)^2+3^{\frac{x}{10}-1}=84[/tex]

[tex]3^{\frac{x}{10}}=t>0[/tex]

[tex]t^2+\frac{t}{3}=84[/tex]

[tex]3t^2+t-252=0[/tex]

[tex]D=1+4.3.252=1+3.1008=3025=55^2[/tex]

[tex]t_1=\frac{-1+55}{6}=9[/tex]

[tex]t_2=\frac{-1-55}{6}<0[/tex]

[tex]3^{\frac{x}{10}}=9=3^2[/tex]

[tex]\frac{x}{10}=2\Rightarrow x=20[/tex]

[Добромир Глухаров]

[tex]24.)\ 3^x+3^{x+1}+3^{x+2}=5^x[/tex]

[tex]3^x+3.3^x+9.3^x=5^x[/tex]

[tex]13.3^x=5^x\|:3^x[/tex]

[tex]13=\(\frac{5}{3}\)^x[/tex]

[tex]x=log_{\frac{5}{3}}13[/tex]

[gab4eto_pz11]

до 31 си ги реших всичките, благодаря за останалите до 38 задача

[gab4eto_pz11]

32.)\ 4^{x+\sqrt{x^2+2}}-5.2^{x-1+\sqrt{x^2+2}}=6[/tex]

[tex]2^{x-1+\sqrt{x^2+2}}=t>0[/tex]

[tex]4t^2-5t-6=0[/tex]


как направихте полагането като при степента на четворката изразът не е същият или поне не се сещам как да го преобразувам: мисля, че го разбрах, добавяте просто една положителна и една отрицателна степен на четворката

[Добромир Глухаров]

[tex]4^{x+\sqrt{x^2+2}}=4^{1+x-1+\sqrt{x^2+2}}=4^1.4^{x-1+\sqrt{x^2+2}}=4.\(2^{x-1+\sqrt{x^2+2}}\)^2=4t^2[/tex]