Логаритмично уравнение

[monika_at]

Зари, понеже виждам, че в момента си на логаритми, ето едно уравнение за теб от мен:

[tex]log_2(2-x)=log_3x[/tex]

[inveidar]

Подсказвам! [tex]log_2(1+(1-x))=log_3(1-(1-x))[/tex].

[amsara]

Коренът 1 ли е?

[monika_at]

Той че е едно, едно е Докажи, че няма други.

[MENKA]

Подсказвам-дефиниционната област за х.Там е разковничето.

[inveidar]

Подсказвам-дефиниционната област за х.Там е разковничето.

Разковничето е в това, което аз съм написал, а да се напише дефиниционното множество и да се реши, или след като се намерят кандидатрешения да се направи проверка в него е просто ЗАДЪЛЖИТЕЛНО.

[monika_at]

Подсказвам-дефиниционната област за х.Там е разковничето.

Разковничето е в това, което аз съм написал, а да се напише дефиниционното множество и да се реши, или след като се намерят кандидатрешения да се направи проверка в него е просто ЗАДЪЛЖИТЕЛНО.

Задачата може да се реши и по друг начин.

[grav]

Не съм сигурен дали тези подсказки помагат. Мсиля, че всеки който знае какво е логаритъм, може да прецени кога е растяща функция и кога намаляваща (без производни и подобни).

[inveidar]

Подсказвам! [tex]log_2(1+(1-x))=log_3(1-(1-x))[/tex].

Добре, бе, хора, не е ли ясно от това, което съм написал, че когато единият от логаритмуваните изрази е по-голям от 1, то другият е по-малък от 1???????????( В единия израз и в другия израз прибавяме към 1 или изваждаме от 1 едно и също число!) Това означава, че ако единият логаритъм е положителен, то другият е отрицателен, защото логаритъм от 1 е равен на нула. Остава и двата израза да са единици, т.е x=1. Проверяваме дали е от ДМ и готово. Това и на баба ми щеше да и е ясно!!!

[inveidar]

Не съм сигурен дали тези подсказки помагат. Мсиля, че всеки който знае какво е логаритъм, може да прецени кога е растяща функция и кога намаляваща (без производни и подобни).

[inveidar]

Задачата може да се реши и по друг начин.

Може, да. С налучкване и доказване, че 1 е решение. Полагането на [tex]log_3x=t[/tex] ни води до уравнението [tex]3^t+2^t=2[/tex], което отново можем да решим по подобни начини.

[someone]

А може и така:
[tex]log_2{(2-x)} = log_3{x} = y \Leftrightarrow 2^y = 2 - x[/tex], [tex]3^y = x[/tex]
т.е. [tex]2^y = 2 - 3^y[/tex]
Лявата страна на това уравнение е строго растяща, дясната - строго намаляваща. Следователно уравнението може да има най-много един реален корен. Този корен е [tex]y=0 \Rightarrow x=3^0 = 1[/tex]. След проверка [tex]x=1[/tex] удовлетворява уравнението.

[Zarrie]

Много благодаря за задачата Извинявам се, че не съм се включил в темата, но се прибрах от почивка преди 2 дни А сега отново се захващам с логаритми, единствено за да разбера, че нищо не съм разбрал

[Zarrie]

Може ли да попитам защо от факта, че едната страна е строго растяща, а другата строго намаляваща, следва, че имаме само един корен?

[someone]

Може ли да попитам защо от факта, че едната страна е строго растяща, а другата строго намаляваща, следва, че имаме само един корен?

Тъй като от двете страни на уравнението функциите са непрекъснати, то техните графики могат да се пресекат най-много в една точка. Мисля, че това е една от теоремите на Болцано.
Нека [tex]y_0[/tex] e общият корен и [tex]y_1[/tex] e евентуално друг такъв (приемаме, че [tex]y_1 > y_0[/tex]). Тогава [tex]l(y_0) = r(y_0)[/tex].
От [tex]y_1 > y_0 \Rightarrow l(y_1) > l(y_0) = r(y_0) > r(y_1)[/tex], т.е. [tex]l(y_1) > r(y_1) \Leftrightarrow l(y_1) - r(y_1) > 0[/tex], т.е. уравнението [tex]l(y)-r(y)=0[/tex] не може да има корен [tex]y_1[/tex], по-голям от [tex]y_0[/tex].
Аналогична е ситуацията в случая [tex]y_1 < y_0[/tex] .