Смятане на логаритъм без калкулатор

[tedkoos]

Здравейте! Трябва да сметна log 9 при основа 2 без калкулатор. В wiki има описан алгоритъм,но не мога да го приложа....моля за обяснение!

http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_logarithm там,където е Recursive approximation.

[s.karakoleva]

Ето един начин чрез използване на развитието на логаритмична ф-я в ред на Маклорен: http://mathworld.wolfram.com/MaclaurinSeries.html

19 формула от горната страница след полагане: [tex]\frac{1+x}{1-x}=\frac{n+1}{n} \Rightarrow x=\frac1{2n+1}[/tex]

[tex]\ln\frac{1+x}{1-x}=\ln\frac{n+1}{n}=\ln(n+1)-\ln n=2\left[\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{3(2n+1)^3}+\frac{1}{5(2n+1)^5}+\ldots\right][/tex]

При [tex]n=1[/tex]
[tex]\ln 2-\ln 1=2\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot 3^3}+\frac{1}{5\cdot 3^5}+\ldots\right]=\frac{842}{1215}\approx 0.693[/tex]

При [tex]n=2[/tex]
[tex]\ln 3-\ln 2=2\left[\frac{1}{5}+\frac{1}{3\cdot 5^3}+\frac{1}{5\cdot 5^5}+\ldots\right]=\frac{980}{2417}\approx 0.4055[/tex]

[tex]\ln 3=\ln 2+\frac{980}{2417}=\frac{842}{1215}+\frac{980}{2417}=\frac{859}{782}[/tex]
или с десетични дроби
[tex]\ln 3=\ln 2+0.4055\approx 0.693+0.4055=1.0985[/tex]

Дадената задача се свежда до [tex]\ln 2[/tex] и [tex]\ln 3: \log_2 9=\log_2 3^2=2\log_2 3=2\frac{\ln 3}{\ln 2}=2\cdot \frac{1.0985}{0.693}\approx 3.1703[/tex]

Беше казано - без калкулатор, но за компютър не се споменава
Чак сега видях, че този който си е дал задачата доста е чакал, но така или иначе - вече го написах. Дано да послужи на някого.

[b956]

Немам търпение да кажа,че утре ще напиша решение, което не ползва теориа от висшата алгебра (математика), имам го написано на хартиа, и много ми харесва и е много лесно разбираемо и не е много дълго - страница и половина от тетрадка -малък формат . b956 и има нещо бинари в решението.

[b956]

логаритъм от 9 при основа 2 = 3+x --> 2^(3+x) =9 --> 2^3 * 2^x = 9 --> 2^x = 1,125
Има добър алгоритъм за изчисляване на корен втори (sqr) от a = a ^ 1/2 .
Изчисляваме 2 ^ 1/2 ; 2 ^ 1/4 = ( 2 ^ 1/2 ) ^ 1/2 ; 2 ^ 1/8 = ( 2 ^ 1/4) ^ 1/2 ; 2 ^ 1/16 ; 2 ^ 1/32 ;
2^x = 1,125 = 2 ^ 1/8 * 2 ^ 1/32 * 2 ^ 1/128 * 2 ^ 1/256 * 2 ^ 1/512
x = 1/8 + 1/32 + 1/128 + 1/256 +1/512 = 0,169
Логаритъм от 9 при основа 2 = 3,169

[b956]

От b956 : Допълнение и пояснения към решението ми по-горе.
От условието на задачата разбирам , че не трябва да се използват никакви Специализирани Изчислителни Средства (СИС), включително Специализирани Числени Таблици (СЧТ).
Не знам дали в днешно време се учи в училищата алгоритъма за изчисляване на корен квадратен от a = (a ^ 1/2) , но алгоритъма е добър за изчисление без СИС и СЧТ.
Как получих формулата 2 ^ x = 1.125 = (2 ^ 1/8) * (2 ^ 1/32) * (2 ^ 1/128) * (2 ^ 1/256) * (2 ^ 1/512) и от тук
x = 1/8 + 1/32 +1/128 + 1/256 + 1/512 .
САМО алгоритъма , БЕЗ доказателството :
Означение : Текст заключен между квадратни скоби ( [ текст ] ) , като част от по-голям текст , означава , че
[ текст ] е незадължително да присъства в по-големия текст .
2 ^x = 1.125 =1 * [(2 ^ 1/2) *] [(2 ^ 1/4) *] [(2 ^ 1/8) *] [(2 ^ 1/16) *] [(2 ^ 1/32) *] [(2 ^ 1/64) *] [(2 ^ 1/128) *]
{(2 ^ 1/256) *] [ (2 ^ 1/512)]
Изчислението след 2 ^ x = 1.125 = , на предните 2 реда да се извърши от ляво на дясно , като :
1) Ако един множител ,заключен между квадратни скоби шщ , е по-голям от 1.125 ,той отпада от формулата .
2) Ако след поредното умножение с текущ множител ,заключен между квадратни скоби , текущия резултат е по-голям
от 1.125 , текущия множител отпада от формулата .

[s.karakoleva]

Идеята Ви да не е вдъхновена от верижни дроби?
И чрез верижни дроби се пресмята елегантно [tex]\sqrt2[/tex] http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-si ... l#section1

Тук също има подобно представяне: http://www.wolframalpha.com/input/?i=co ... ion+sqrt(2)

Трябва x още при въвеждането да се дефинира: x<1

Тук става въпрос за числен метод. Имате ли доказателство, че процесът е сходящ при голям брой множители и колко трябва да се вземат, за да се достигне определена точност?

[b956]

От b956 : С.Караколева ,благодаря за въпроса, още не съм разгледал нещата, които посочвате, но да кажа , как ми възникна идеята за решението ми . Отдавна съм чел как Кеплер и Непер са се сетили за ползата от логаритми и то как да се изчислят и напишат четиризначни таблици , но имам купища книги за и по математика потрупани и не мога да търся , защото са потрупани . Но знам, че за 10 ^ х = b , 0 < b <10 , съществува теоретично решение х и може да се намери рационално число m/n ~~ х : 10 ^ m/n ~~ b . А m/n може да се представи като двоична дроб , като в случая : 0.001 010 111 0 . Ще продължа през деня .

[b956]

Двоичната дроб е пълноценен по-кратък запис на сума s от членове на редицата : 2 ^1/2 , 2 ^ 1/4 , 2 ^ 1/8 ,
2 ^1/16, ...
и колкото да е дълга двоичната дроб , s < 1 i 2 ^ s < 2 ^1 .
За изчисление на x : 2 ^ x = 1.125 с точност 4 десетични знака след десетичната точка - да се изчислят 14 числа :
2 ^ 1/2 , ... , 2 ^ 1/(2^14) = 2 ^ 1/16384
с 8 десетични знака след десетичната точка, и резултатите от последващите умножения да са с 8 десетични знака след десетичната точка .

[Knowledge Greedy]

Открих запис в чернова, с почти завършено решение и един "по-детски", не толкова точен метод.

Този алгоритъм e забелязан благодарение на близостта на числата [tex]1000[/tex] и [tex]1024[/tex].
Първото е [tex]10^3[/tex] , а второто е [tex]2^{10}[/tex].
От приближеното равенство [tex]2^{10}\approx 1000[/tex] и определението за логаритъм, намираме

[tex]lg1024 \approx lg1000=3[/tex]

[tex]lg2^{10} \approx 3[/tex]

[tex]10lg2 \approx 3[/tex]

[tex]lg2 \approx 0,3[/tex]

Аналогично, бързо се смята на ръка [tex]3^9=19683 \approx 20000[/tex]

Логаритмуваме отново при основа [tex]10[/tex].

[tex]lg3^9 \approx lg 20000[/tex]

[tex]9lg3 \approx lg2+ lg 10000[/tex]

[tex]9lg3 \approx lg2+ 4[/tex]

[tex]lg3 \approx \frac{4,3}{9}[/tex]

Умножаваме по [tex]2[/tex]

[tex]lg9 \approx \frac{8,6}{9}[/tex]

Пресмятаме с деление на ръка [tex]log_29=\frac{lg9}{lg2}\approx \frac{86}{90.0,3}[/tex]

Окончателно [tex]\boxed{log_29 \approx 3,185}[/tex]

___________________
С каклулатор, с точност до третия знак [tex]log_29 \approx 3,170[/tex]
___________________

За четири пъти повече време - отново на ръка, без калкулатор [tex]lg2 \approx 0,301[/tex]
и се получава [tex]log_29 \approx \frac{8606}{2709} \approx3,177[/tex] - резултатът се подобрява с [tex]8[/tex] хилядни.

[tex]\boxed{log_29 \approx 3,177}[/tex]
___________________
За близо 20 пъти повече време, спрямо времето за първоначално получения отговор - при по-точно приближаване на [tex]lg3 \approx 0,477[/tex]
резултатът е [tex]\boxed{log_29 \approx 3,169}[/tex]
___________________
Нарекох метода "по-детски", тъй като при пресмятанията не е държано на строга оценка на грешката.