логаритмично неравенство

[ivan_ivov]

Здравейте, искам да попитам за решението на това неравенство. Опитах да обърна логаритъма отляво и да стане едно върху логаритъм от (3-х) при основа х, но така получавам различни отговори от тези, които получавам ако го решавам така. Благодаря предварително

[Nathi123]

[tex]\begin{array}{|l} x >0\\ 3-x>0 \\3-x\ne 1 \end{array}\Rightarrow( x\in (0,2)\cup (2,3))\cap log_{3-x}x<log_{3-x}(3-x)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} x\in(0,2)\\ x<3-x \end{array}\cup\begin{array}{|l} x \in (2,3)\\ x>3-x \end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l} x\in(0,2) \\ x<\frac{3}{2} \end{array}\cup \begin{array}{|l} x \in (2,3)\\ x>\frac{3}{2}\end{array}\Leftrightarrow x\in (0,\frac{3}{2})\cup ( 2,3)[/tex].

[ivan_ivov]

Тоест след като определим допустимите стойности за логаритъма можем да разгледаме поведението на функцията и оттам да видим дали ще сменяме основата или не, така ли ? Защо не се получава ако след като единицата представя като лог от (3-х) при същата основа и след това започвам да решавам кога функцията е намаляваща или растяща в зависимост от основата 3-х. Как разбираш от дс кога логаритъма и намаляваш или растящ и следователно кога да обърнеш знака на неравенството ?

[Добромир Глухаров]

Функцията $f(x)=log_ax$ е растяща за $a>1$ и намаляваща за $0<a<1$, така че разглеждаме два случая, съответно решаваме две системи и накрая обединяваме решенията.

[ivan_ivov]

Да, знам това. В този случай "a" се явява (3-x) и 3-x>1 или 0<3-x<1 e еквивалентно на x<2 и 2<x<3, тоест при първото растe и при второто намалява. А в решението на Nathi е записано (0;2) за растяща и (2;3) за намаляваща, което съвпада с ДС. Тоест трябва още щом намеря x<2 за растяща функция да се съобразя с ДС и да стане (0;2)? Той ползва нещо като метод на интервалите с логическото И " (x∈(0,2)∪(2,3))∩log3−xx<log3−x(3−x)" и прави два случая за стойностите на x и съответно за решението на неравенството. Демек пише първия интервал и проверява като замества в основата (3-x), за да разбере дали логаритъма ще расте или предварително определя това и после ги навързва според това как се е получило. Питам за да разбера метода на решаването

[Добромир Глухаров]

За първия интервал $(x\in(0;2))$, $log_ax$ е с $a>1$, следователно за по-големи $x$ ще получава по-големи стойности. $log_{3-x}x<log_{3-x}3-x\Leftrightarrow x<3-x$. А основата си е една и съща - $3-x$ - не се променя. Променя се само аргументът на логаритъма - от $x$ на $3-x$.

За втория интервал $(x\in(2;3))$, $log_ax$ е с $0<a<1$, следователно за по-големи $x$ ще получава по-малки стойности. $log_{3-x}x<log_{3-x}3-x\Leftrightarrow x>3-x$.

[Добромир Глухаров]

$log_{g(x)}u(x)<log_{g(x)}v(x)\Leftrightarrow\begin{array}{|l}0<g(x)<1\\u(x)>0\\v(x)>0\\u(x)>v(x)\end{array}\cup\begin{array}{|l}g(x)>1\\u(x)>0\\v(x)>0\\u(x)<v(x)\end{array}$

Разбира се, от първата система можем да изключим $u(x)>0$, щом $v(x)>0$ и $u(x)>v(x)$, съответно от втората - $v(x)>0$.